Phasenakkumulation von Hankel-Wellen bei Ausbreitung

Hankel-Funktionen sind Lösungen der skalaren Helmholtz-Gleichung

Δ ψ + k e 2 ψ = 0
in zylindrischer und sphärischer Geometrie (bezüglich einer getrennten Winkelabhängigkeit). Daher sind sie sehr wichtig, um sphärische und zylindrische Wellen zu beschreiben. Hier ist ein Beispiel für eine solche Ausbreitung im sphärischen Fall von Franz Zotter :

Animation

Ich suche nach einer Referenz, die die Phasenakkumulation von Hankel-Wellen der Form angibt

F H Ö u T / ich N ( R ) = H M 1 / 2 ( k ρ )   .
Angenommen ist Stationarität mit an e − ich ω T Zeitabhängigkeit, die die Bedeutung der zwei verschiedenen Hankel-Wellen als abgehend/ankommend festlegt.

Für ebene Wellen findet man, dass die akkumulierte Phase einer Welle in X -Richtung,

F P = e ich k X
hängt einfach mit seinem Argument zusammen,
ϕ A C C ( X 1 , X 2 ) = A R G ( F P ( X 2 ) ) − A R G ( F P ( X 1 ) ) = k ( X 2 − X 1 )
und es ist natürlich , diese Formel nur im Hankel-Fall zu verwenden, z
ϕ A C C ( ρ 1 , ρ 2 ) = A R G ( F H Ö u T / ich N ( ρ 2 ) ) − A R G ( F H Ö u T / ich N ( ρ 1 ) )

Allerdings konnte ich keine passende Referenz finden . Daher meine Frage:

Gibt es eine Referenz, die die Phasenakkumulation von Hankel-Wellen definiert?

Vielen Dank im Voraus.

Antworten (2)

Eine Lösung in geschlossener Form (in Bezug auf elementarere Funktionen als Hankel-Funktionen) existiert nicht. Typischerweise interessiert man sich aber nur für das Regime wo k ρ ≫ 1 , dh der asymptotische Bereich weit weg von der Quelle. Dort kann man die asymptotische Form der Hankel-Funktionen verwenden

H M 1 / 2 ( X ) ∼ 2 π X e ± ( ich X − ich π 2 M − ich π 4 ) .
Somit ist die akkumulierte Phase gegeben durch
ϕ gem ( ρ 1 , ρ 2 ) = ± k ( ρ 2 − ρ 1 ) ,
dh dasselbe wie für eine ebene Welle.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Allerdings in meinem Fall eine Definition der Phasenakkumulation für alle ρ > 0 erforderlich. Grüße
@Rober: wozu braucht man sowas überhaupt?
Für eine vollständige Beschreibung des Feldes im gleichen Sinne braucht man Hankel-Funktionen und nicht nur ebene Wellen.
Ok, es scheint kein Interesse an einer Antwort auf diese Frage für alle zu geben ρ Also akzeptiere ich diese einfach. Grüße.

Ich bin mir nicht sicher, wie Sie allein von Hanken-Funktionen nach außen wandernde Wellen erhalten, ohne auch Bessel-Funktionen zu verwenden. Mein Verständnis ist, dass Sie in Analogie zu ebenen Wellen die Lösungen für stehende Wellen haben, z.

sin(kx)*cos(wt) und

cos(kx)*sin(wt)

und die Wanderwelle entsteht aus der Summe dieser beiden. In ähnlicher Weise haben Sie in der zylindrischen Geometrie die stehenden Wellen

Bess(kr)*cos(wt) und

Hank(kr)*sin(wt)

und die in den Applets gezeigten Wanderwellen sind wirklich die Summe davon. Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Punkt relativ zur gestellten Frage ist, aber so verstehe ich die Bilder.

H M 1 / 2 = J M ± N M in Bezug auf ein Argument. Bitte werfen Sie einen Blick auf die Wiki-Seiten, die ich verlinkt habe. Grüße
OK richtig. Ich denke, was ich die Hankel-Funktion genannt habe, müsste eigentlich die Neumann-Funktion sein.
Phasenakkumulation von Hankel-Wellen bei Ausbreitung
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