Photonen im Coulombfeld

Nein, tut es nicht (zugegeben, wohl). Die Coulomb-Ladungsfelder legen den Teil des elektrischen Feldes fest, der nicht rotiert (keine Kräuselung hat ). Die Photonen sind Anregungen in dem Teil des elektromagnetischen Feldes (elektrisches Feld und Vektorpotential), der keine Divergenz aufweist .

Betrachten Sie den harmonischen Quantenoszillator (einfacher harmonischer Oszillator = SHO). Es hat diskrete Energieniveaus, weil der Hamilton-Operator

$$\begin{align} H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2, \end{align}$$ hat sowohl den Schwung, $p$, und die Position, $x$, drin. Wenn der Hamiltonoperator nur das eine oder andere hat ( $m=\infty$oder $k=0$), sein Spektrum ist kontinuierlich.

Die „Teilchen“ in der Quantenfeldtheorie (QFT) sind letztlich das Ergebnis genau dieser Art der Diskretisierung der möglichen Werte des Hamiltonoperators. Eine Möglichkeit, den Hamilton-Operator für das elektromagnetische Feld zu schreiben, ist

$$H = \int \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_{\mathrm{div}}^2 + \frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \left(\nabla\times \mathbf{A}_{\mathrm{sol}}\right)^2\right] \operatorname{d}^3x.$$ In diesem Hamiltonian $\mathbf{A}_{\mathrm{sol}}$spielt die Rolle einer Koordinate (wie $x$im SHO) und $\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\mathrm{div}} + \mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$spielt die Rolle des Impulses ( $p$im SHO). Beachte wie $\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$trägt nicht bei? Das bedeutet, dass die $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$Ein Teil des Feldes unterstützt keine teilchenähnlichen Anregungen, da dieser Teil der Energie jedes Energieniveau haben kann. Photonen leben in den Teilen des Hamilton-Operators, die die haben $\mathrm{sol}$, für Solenoid, tiefgestellt.

Nun, ich habe nie etwas über das Skalarpotential gesagt,$\phi$. nicht wie$\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$dem ein Potentialterm fehlt, der aber einen kinetischen Energieterm hat,$\phi$erscheint im Hamiltonian / Lagrangeian, aber seine Zeitableitung nicht, also ist es eine andere Form von Seltsamem, wie wenn etwas einen potenziellen Energieteil, aber keinen kinetischen Energieteil hat. Schlimmer noch, es ist tatsächlich damit verbunden$\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$, aber das alles zu verstehen ist nicht notwendig, um zu verstehen, warum der Teil des Feldes, der von ihnen abhängt, keine Photonen enthält.

Was meinte ich jetzt mit "wahrscheinlich"? Nun, Sie werden oft von "virtuellen Photonen" hören, und Feynman sagt ausdrücklich, dass das Coulomb-Potential aus der Wirkung solcher virtuellen Photonen entsteht. Feynman war kein Dummkopf, also liegt er nicht ganz falsch, er begeht nur einen Begriffsmissbrauch, der zugegebenermaßen zum Standard geworden ist.

Mein Verständnis dessen, was ein virtuelles Photon oder wirklich irgendein virtuelles Teilchen ist, ist eng mit der Fourier-Transformation des Feldes und der Erfüllung von Einschränkungen (insbesondere Randbedingungen) verbunden. Insbesondere handelt es sich um ein mathematisches Werkzeug, mit dem Sie Einschränkungen im realen Raum erfüllen können, nachdem Sie in den Fourier-Raum gewechselt sind. Wenn Sie sich beispielsweise mit der Quantenelektrodynamik befassen, werden Sie feststellen, dass die Maxwell-Gleichung dem Coulomb-Gesetz entspricht.$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$, wird als Zwangsgleichung behandelt, der die Felder gehorchen müssen, und nicht als Ergebnis der Dynamik. Daher benötigen Sie virtuelle Photonen, um es zu befriedigen.

Betrachten Sie ein Beispiel: eine Schnur, deren beide Enden einen festen Abstand haben$L$auseinander und mit fester Spannung,$T$. Jetzt zieh irgendwann an der Schnur,$x'$, mit einer Kraft,$F$. In dieser Analogie spielt die Position der Saite die Rolle des Feldes und die ausgeübte Kraft die Rolle eines Elektrons ($F$ist die Gebühr). Wir nehmen an, dass die Saite der inhomogenen Wellengleichung gehorcht (der Einfachheit halber)

$$\mu \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = F \delta(x-x'), \tag1$$ Wo $\mu$ist die Masse pro Längeneinheit der Saite und $\delta(x-x')$ist die Dirac-Delta-Funktion. In diesem Fall kann gezeigt werden, dass die Form der Saite, $y(x)$, ist eine durch gegebene Zeltfunktion $$\begin{equation} y(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{F}{T} \left(1 - \frac{x'}{L}\right) x & x \le x' \\ \frac{F}{T} \left(\frac{x'}{L}\right) (L-x) & x \ge x'. \end{array}\right. \tag2 \end{equation}$$

Wenn$F=0$Die Saite gehorcht der Wellengleichung und hat die normalen Modi, an die wir gewöhnt sind. Diese normalen Moden treten bei diskreten Frequenzen auf und haben in der Quantenmechanik diskrete Amplituden (so sehen Photonen aus, wenn Sie das Feld an den Rändern einer Box festhalten - sie haben diskrete Frequenzen), die durch festgelegt werden$E_i=n_i \hbar \omega_i$, für eine ganze Zahl$n_i$bei jeder Winkelfrequenz$\omega_i$. Das$n_i$nennen wir die Anzahl der Photonen, die diese Frequenz im Fall des Elektromagnetismus haben. Wichtig ist, dass diese Normalmoden einer Dispersionsbeziehung zwischen Winkelfrequenz und Wellenzahl gehorchen,$k$,

$$\omega^2 - \frac{T}{\mu}k^2 = 0. \tag3$$ Wenn ein Modus dieser Beziehung gehorcht, nennen wir ihn in der Teilchenphysik "auf Massenhülle".

Wenn Sie eine Moduserweiterung der Gleichung durchführen$(2)$du erhältst

$$\begin{align} y(t,x) &= \frac{F}{T}\sum_{i=1}^\infty \frac{\sin(k_i x') \sin(k_i x)}{k_i^2} \ \mathrm{for} \tag4\\ k_i & \equiv i\frac{\pi}{L}. \end{align}$$ Beachten Sie, dass jeder Term in Gleichung (4) ein separater Modus ist und die Beziehung zwischen Winkelfrequenz ( $0$für jeden Modus in diesem Fall) und Wellenzahl, die in Gleichung (3) gegeben ist, verletzt wird. Daher nennen wir die Terme "nicht reell", aber wir brauchen sie trotzdem, um die Randbedingungen für die Ableitung von zu erfüllen $y$bei $x'$durch Gleichung (1) impliziert.

Allerdings ist der String nicht so kompliziert wie der Photonenfall, da das Feld nicht in einzelne Komponenten aufgeteilt ist, von denen die eine virtuelle Photonen und die andere reale durchlässt und keine Eichbedingungen hat. Trotzdem ist die Essenz dieselbe (vgl. Skalarfeldtheorie, die dieselbe Terminologie wie QED verwendet).

Interessanterweise reichen virtuelle Partikel nicht immer aus, um alle Einschränkungen zu erfüllen, die einem Problem auferlegt werden. Wenn Sie in der nicht-abelschen Eichtheorie ein Messgerät auswählen, benötigen Sie ein weiteres mathematisches Werkzeug namens Faddeev-Popov-Geisterpartikel, um die Eichbedingung zu erfüllen. Der Unterschied zwischen Geister- und virtuellen Teilchen besteht darin, dass FP-Geister die entgegengesetzte Spin-Statistik von ihrem zugrunde liegenden Feld haben, virtuelle Teilchen haben die gleiche.