Physikalische Interpretation der Beziehung zwischen Hall-Leitfähigkeit und Beerenkrümmung?

Question

Physikalische Interpretation der Beziehung zwischen Hall-Leitfähigkeit und Beerenkrümmung?

Physik
kondensierte Materie
Störungstheorie
Quanten-Hall-Effekt
Festkörperphysik
Beeren-Pancharatnam-Phase

Hühnergott

Warum ist die Hall-Leitfähigkeit in einem 2D-Material

\begin{matrix} (1) & σ_{X j} = \frac{e^{2}}{2 π H} \int D k_{X} D k_{j} F_{X j} (k) \end{matrix}

$\tag{1} \sigma_{xy}=\frac{e^2}{2\pi h} \int dk_x dk_y F_{xy}(k)$ wobei das Integral über die Brillouin-Zone genommen wird und

F_{x y} (k)

$F_{xy}(k)$ ist die Berry-Krümmung der gefüllten Bänder? Was ist die physikalische Interpretation dieser Gleichung?

Können wir auch alle gefüllten Zustände durch ein anderes Variablenpaar neu parametrisieren $A$ Und $B$ und schließe daraus

\begin{matrix} (2) & σ_{X j} = \frac{e^{2}}{2 π H} \int F (A, B) D A D B \end{matrix}

$\tag{2} \sigma_{xy}=\frac{e^2}{2\pi h} \int F(A,B)dAdB$ Wo

F (A, B)

$F(A,B)$ ist die Berry-Krümmung in Bezug auf die

A

$A$ Und

B

$B$ Parameterraum?

Antworten (1)

Physikalische Interpretation der Beziehung zwischen Hall-Leitfähigkeit und Beerenkrümmung?

Everett Du · Answer 1

Die Formel ergibt sich aus der Kubo-Formel der Leitfähigkeit (basierend auf der Linear-Response-Theorie), die in dieser Frage diskutiert wird: Kubo-Formel für den Quanten-Hall-Effekt und in den darin enthaltenen Referenzen. Ausgehend von der Kubo-Formel (set $e=\hbar=1$ )

\begin{matrix} (1) & σ_{X j} = ich \sum_{E_{M} < 0 < E_{N}} \frac{⟨ M | v_{X} | N ⟩ ⟨ N | v_{j} | M ⟩ - ⟨ M | v_{j} | N ⟩ ⟨ N | v_{X} | M ⟩}{(E_{M} - E_{N})^{2}}, \end{matrix}

$\tag{1}\sigma_{xy}=i\sum_{E_m<0<E_n}\frac{\langle m|v_x|n\rangle\langle n|v_y|m\rangle-\langle m|v_y|n\rangle\langle n|v_x|m\rangle}{(E_m-E_n)^2},$ Wo

| m ⟩

$|m\rangle$ ist der Einzelteilchen-Eigenzustand der Eigenenergie

E_{m}

$E_m$ , dh

\begin{matrix} (2) & H | M ⟩ = E_{M} | M ⟩ . \end{matrix}

$\tag{2} H|m\rangle = E_m|m\rangle.$ Nehmen wir die Impulsableitung

\partial_{k}

$\partial_\boldsymbol{k}$ auf beiden Seiten von Gl. (2), wir haben

\begin{matrix} (3) & (\partial_{k} H) | M ⟩ + H \partial_{k} | M ⟩ = (\partial_{k} E_{M}) | M ⟩ + E_{M} \partial_{k} | M ⟩ . \end{matrix}

$\tag{3}(\partial_{\boldsymbol{k}}H)|m\rangle + H\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle = (\partial_{\boldsymbol{k}}E_m)|m\rangle + E_m \partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$ Dann überlappen mit

⟨ n |

$\langle n|$ von links, Gl. (3) wird

\begin{matrix} (4) & ⟨ N | (\partial_{k} H) | M ⟩ + E_{N} ⟨ N | \partial_{k} | M ⟩ = (\partial_{k} E_{M}) ⟨ N | M ⟩ + E_{M} ⟨ N | \partial_{k} | M ⟩ . \end{matrix}

$\tag{4}\langle n|(\partial_{\boldsymbol{k}}H)|m\rangle + E_n\langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle = (\partial_{\boldsymbol{k}}E_m)\langle n|m\rangle + E_m \langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$ Hier haben wir verwendet

⟨ n | H = E_{n} ⟨ n |

$\langle n|H = E_n\langle n|$ . Wenn

| m ⟩

$|m\rangle$ Und

| n ⟩

$|n\rangle$ sind verschiedene Eigenzustände (z

E_{m} \neq E_{n}

$E_m\neq E_n$ in Gl. (1)), sollte ihre Überlappung verschwinden, d.h

⟨ n | m ⟩ = 0

$\langle n|m\rangle=0$ . Beachte das auch

\partial_{k} H

$\partial_{\boldsymbol{k}} H$ ist nichts anderes als der Geschwindigkeitsoperator

v = \partial_{k} H

$\boldsymbol{v}=\partial_{\boldsymbol{k}} H$ per Definition. Also Gl. (4) reduziert werden kann

\begin{matrix} (5) & ⟨ N | v | M ⟩ = (E_{M} - E_{N}) ⟨ N | \partial_{k} | M ⟩ . \end{matrix}

$\tag{5} \langle n|\boldsymbol{v}|m\rangle = (E_m - E_n) \langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$ Ersatz-Gl. (5) zu Gl. (1) (Wiederherstellung der

x

$x$ ,

y

$y$ tiefgestellt), haben wir

\begin{matrix} (6) & σ_{X j} = - ich \sum_{E_{M} < 0 < E_{N}} (⟨ M | \partial_{k_{X}} | N ⟩ ⟨ N | \partial_{k_{j}} | M ⟩ - ⟨ M | \partial_{k_{j}} | N ⟩ ⟨ N | \partial_{k_{X}} | M ⟩) . \end{matrix}

$\tag{6} \sigma_{xy}=-i\sum_{E_m<0<E_n}\big(\langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big).$

Auf der anderen Seite ist die Berry-Verbindung definiert als $\boldsymbol{A}=i\langle m|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle$ , und die Berry-Krümmung ist $F_{xy}=(\partial_{\boldsymbol{k}}\times\boldsymbol{A})_z=\partial_{k_x}A_{y}-\partial_{k_y}A_{x}$ . Angesichts dessen $(\partial_\boldsymbol{k}\langle m|)|n\rangle = - \langle m|\partial_\boldsymbol{k}|n\rangle$ (Teilintegration), können wir sehen

\begin{matrix} (7) & F_{X j} = - ich \sum_{N} (⟨ M | \partial_{k_{X}} | N ⟩ ⟨ N | \partial_{k_{j}} | M ⟩ - ⟨ M | \partial_{k_{j}} | N ⟩ ⟨ N | \partial_{k_{X}} | M ⟩) + ich ⟨ M | \partial_{k_{X}} \partial_{k_{j}} - \partial_{k_{j}} \partial_{k_{X}} | M ⟩ . \end{matrix}

$\tag{7} F_{xy}= -i \sum_n\big( \langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big) +i \langle m|\partial_{k_x}\partial_{k_y}-\partial_{k_y}\partial_{k_x}|m\rangle.$ Der letzte Term verschwindet, wenn die partiellen Ableitungen miteinander vertauschen. Durch Vergleich mit Gl. (6), landen wir bei

\begin{matrix} (8) & σ_{X j} = \sum_{E_{M} < 0} F_{X j} \sim \int_{BZ} D^{2} k F_{X j} . \end{matrix}

$\tag{8} \sigma_{xy}=\sum_{E_m<0}F_{xy}\sim\int_\text{BZ} d^2k F_{xy}.$ Das bedeutet, dass die Hall-Leitfähigkeit einfach die Summe der Chern-Zahlen ist, dh der gesamte Berry-Fluss durch die Brillouin-Zone (BZ) für alle besetzten Bänder. Natürlich steht es uns frei, den Impulsraum durch ein anderes Variablenpaar neu zu parametrisieren, und der gesamte Berry-Fluss durch die BZ wird sich nicht ändern (da er koordinatenunabhängig ist).

Was ist also die physikalische Bedeutung von $F_{xy}$ ? $F_{xy}$ ist ein effektives Magnetfeld im Impulsraum (senkrecht zur $xy$ -Flugzeug entlang der $z$ -Richtung). Das wissen wir für das Magnetfeld $\boldsymbol{B}$ im realen Raum erfährt ein sich darin bewegendes geladenes Teilchen die Lorentzkraft , so dass die Bewegungsgleichung lautet $\dot{\boldsymbol{k}}=\dot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol{B}$ . Wenn wir nun zum Impulsraum wechseln, müssen wir nur den Impuls austauschen $\boldsymbol{k}$ und die Koordinate $\boldsymbol{r}$ , und ersetzen $\boldsymbol{B}$ von $\boldsymbol{F}$ (Beachten Sie, dass das Symbol $\boldsymbol{F}$ bezeichnet hier die Berry-Krümmung, nicht die Kraft), was zu führt

\begin{matrix} (9) & \dot{R} = \dot{k} \times F \end{matrix}

$\tag{9} \dot{\boldsymbol{r}}=\dot{\boldsymbol{k}}\times \boldsymbol{F}$ Also was ist

\dot{r}

$\dot{\boldsymbol{r}}$ ? Es ist die Geschwindigkeit des Elektrons, die proportional zum elektrischen Strom ist

j

$\boldsymbol{j}$ . Und was ist

\dot{k}

$\dot{\boldsymbol{k}}$ ? Es ist die auf das Elektron wirkende Kraft (weil die Kraft die Geschwindigkeit ist, mit der sich der Impuls mit der Zeit ändert), die proportional zur elektrischen Feldstärke ist

E

$\boldsymbol{E}$ , also Gl. (9) impliziert

\begin{matrix} (10) & J \sim E \times F . \end{matrix}

$\tag{10} \boldsymbol{j} \sim \boldsymbol{E}\times \boldsymbol{F}.$ Daher die Berry-Krümmung

F_{x y}

$F_{xy}$ an jedem Impulspunkt gibt einfach die Hall-Antwort des Einzelteilchenzustands an diesem Impuls an. Die Hall-Leitfähigkeit des gesamten Elektronensystems sollte also die Summe der Berry-Krümmung über alle besetzten Zustände sein, die in Gl. (8).

Eine fantastische Antwort! Obwohl ich nach bildlicher Intuition suchte, waren Ihre Gleichungen (9) und (10) eine schöne Möglichkeit, die Beziehung zwischen Leitfähigkeit und Berry-Krümmung zu betrachten. Wo aber treten die Randzustände in diesen Formalismus ein? Außerdem habe ich die Kubo-Formel noch nie als Ihre Gleichung (1) ausgedrückt gesehen. Obwohl die Kubo-Formel eine Annäherung ist, sollte Ihre Gleichung (6) nach Laughlins Argument genau sein, richtig?
@ChickenGod Der Randzustand geht in diesen Formalismus nicht ein. Die Kubo-Formel beschreibt die Massenantwort. Alle Informationen, die zur Berechnung der Leitfähigkeit benötigt werden, sind die einzelnen Teilchenwellenfunktionen im Volumen. Vermutlich unterliegt die Wellenfunktion periodischen Randbedingungen, also gibt es in diesem Formalismus überhaupt keine Kante. Aber das Erstaunliche ist, dass es diese Bulk-Grenze-Dualität gibt, dass die Bulk-Antwort in der Grenze codiert werden kann. Aber das ist dann eine andere lange Geschichte.
Die Kubo-Formel ist in der Tat eine Annäherung, so wie Gl. (6), die in Bezug auf freie Fermionen formuliert ist. Die Interaktions- und Störungseffekte sind nicht enthalten. Das Erstaunliche ist also, dass selbst bei Elektronenwechselwirkung die Hall-Leitfähigkeit immer noch genau auf denselben ganzzahligen Wert quantisiert wird, was durch Laughlins Argument gezeigt wurde. Der Punkt ist, dass für ein Elektronensystem mit Lücken die Hall-Leitfähigkeit eine topologische Eigenschaft ist, die unter jeder Verformung unveränderlich ist, solange die Lücke nicht geschlossen ist. Die Quantisierung ist also immer exakt, was über die Beschreibung der Kubo-Formel hinausgeht.
@Everett You: Der fraktionierte Quanten-Hall-Effekt ist ein Gegenbeispiel.
@jjcale Meinst du, FQH ist ein Gegenbeispiel für die Massengrenzenkorrespondenz oder ein Gegenbeispiel für die topologische Robustheit?
@Everett You: Es ist ein Gegenbeispiel zur Quantisierung auf den ganzzahligen Wert und zu Laughlins Argument.

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Hühnergott

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Everett Du

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