Physikalische Intuition dahinter, warum J^2J^2\hat{J}^2 und J^zJ^z\hat{J}_z pendeln

Die physikalische Intuition (warum der Kommutator

$$[\hat{J}_z,\hat{J}^2]~=~0\tag{1}$$ verschwinden) ist (wie Townsend schreibt) das $\hat{J}_z$ist der Generator der Drehungen um die $z$-Achse. Sondern das Quadrat des Drehimpulses $$\hat{J}^2~=~e^{i\phi \hat{J}_z}\hat{J}^2e^{-i\phi \hat{J}_z}\tag{2}$$ wird durch eine Drehung nicht verändert $\phi$. Taylorentwicklung von Gl. (2) herum $\phi=0$führt zu Gl. (1).

Rotationen sind eine Symmetrietransformation in der Gruppentheorie. Skalare sind jede Größe, die unter Drehungen unveränderlich ist. In mathematischer Notation ist das

$$\phi \rightarrow \phi$$ Vektoren sind Größen, die mit einer Rotationsmatrix transformiert werden. Unter einer Rotationsmatrix transformiert sich also ein Vektor wie $$x_i \rightarrow \sum_{j=1}^N R_{ij}\, x_j.$$ Sowohl Skalare als auch Vektoren sind Beispiele für Objekte, die Tensoren genannt werden. Wir kategorisieren Tensoren nach dem, was wir ihren "Rang" nennen, wobei der Rang die Anzahl der Rotationsmatrizen ist, die benötigt werden, um sie zu transformieren. Der Trägheitstensor , der Rang zwei ist, benötigt also zwei Rotationsmatrizen $$I_{ij} \rightarrow \sum_{n,m=1}^N R_{in} R_{jm} I_{nm}.$$

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Definition von Drehungen darin besteht, dass sie die Länge von Vektoren beibehalten. Die Länge jeder Vektorgröße ist also per Definition skalar. Kombinieren Sie das mit der Tatsache, dass Sie Skalare addieren oder multiplizieren können, um neue Skalare zu erhalten, und$\vec{J}^2$wird ein Skalar.

Diese Definitionen gelten auch in der Quantenmechanik, wenn physikalische Größen zu Operatoren erhoben werden. So,$\hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2$wird ebenso rotationsinvariant sein$\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2$. Keine einzelne Vektorkomponente wird jedoch unter allen möglichen Drehungen unveränderlich sein.

Interessanterweise fällt mir zwar kein Beispiel ein, wo es verwendet wird,$\hat{J}_z$wird immer mit pendeln$z$-Komponenten eines beliebigen Vektoroperators - weil Drehungen um die$z$-Achse verlassen die$z$-Komponenten von Vektoren invariant.

Einige Aspekte der Theorie des Quantendrehimpulses sind eng mit der Theorie des klassischen Drehimpulses verwandt.

Um dies zu sehen und mit der Sprache Ihres spezifischen Beispiels in Verbindung zu bringen, stellen Sie sich vor, wir drehen uns um$\hat z$. Diese Drehung erfolgt durch die Matrix

$$\begin{align} R_z(\alpha)&=\left(\begin{array}{ccc} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0\\ \sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\, ,\\ &=e^{-i\alpha J_z}=\sum_{k} \frac{(-i \alpha)^k}{k!} J_z^k\, , \qquad J_z=\left(\begin{array}{ccc} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\, . \end{align}$$ Sie können dasselbe tun, um zu erhalten $J_y$Und $J_x$. Wenn Sie dies tun, werden Sie das finden $J_z^2+J_y^2+J_x^2$ist tatsächlich proportional zur Einheitsmatrix $\hat 1$, die mit jeder Drehimpulskomponente pendelt . Dies spiegelt einfach die Tatsache wider, dass sich die Länge eines Vektors bei Drehung nicht ändert. Beachten Sie auch, dass die Matrizen für $J_z,J_x$Und $J_y$pendeln nicht als Matrizen; natürlich pendeln auch die entsprechenden Operatoren nicht als Operatoren.

Wir erwarten daher im Großen und Ganzen von Argumenten der klassischen Physik, dass, wenn$\hat J^2$ist mit dem Längenquadrat des Drehimpulsvektors zu verbinden$J^2$, es pendelt mit jedem Rotationsgenerator$\hat J_k$: Dies ist nur die Quantenversion des klassischen Ergebnisses.

Zwei Operatoren können „gleichzeitig“ gemessen werden, wenn sie simultane Eigenvektoren haben. Zitat aus „Die Interpretation der Quantenmechanik“ von Roland Omnes:

Die Mathematik sagt uns das, wenn zwei selbstadjungierte Operatoren$A$Und$B$pendeln, können sie gleichzeitig diagonalisiert werden. Das heißt, es existiert eine orthogonale Basis (zumindest im Sinne von Dirac) aus Vektoren$\vert a,b,r\rangle$Wo$a$liegt im Spektrum von$A$,$b$im Spektrum von$B$, Und$r$ein Degenerationsindex. Die Wahrscheinlichkeit, wenn die Werte gefunden werden$(a,b)$bei gleichzeitiger Messung$A$Und$B$wird dann geschrieben als

$$p(a,b)=\sum_r\vert \langle a,b,r\vert\psi\rangle\vert^2$$

[Hier, "$a$liegt im Spektrum von$A$" bedeutet$a$ist ein Eigenwert von$A$].

Außerdem zeigt man leicht, dass beides der Fall ist$\Delta A$Und$\Delta B$sind gleichzeitig $0$für die gemeinsamen Eigenvektoren. Daher können wir in Ihrem speziellen Beispiel fragen, ob der Staat$\vert jm\rangle$hat einen wohldefinierten Gesamtdrehimpuls$\hbar^2 j(j+1)$ gleichzeitig mit einer wohldefinierten Projektion$\hbar m$.

Beachten Sie, dass sich „gleichzeitig“ hier nicht auf die Messung von zwei Größen bezieht, die gleichzeitig in einem Labor durchgeführt werden. Letzteres wird als gemeinsame Messung bezeichnet. Um dies zu betonen, können Sie sich diesen schönen, aber etwas intensiven Artikel über gemeinsame Messungen ansehen , der insbesondere die frühen Artikel von Margenau und Park zitiert:

[Margenau und Park] stellen fest, dass (a) die Unsicherheitsrelationen nichts mit simultanen Messungen zu tun haben, da diese Beziehungen Standardabweichungen von Messergebnissen betreffen, die durch getrennte Messung der Observablen erhalten werden.

Es gibt auch ein kurzes und lehrreiches Papier von Raymer [ Unsicherheitsprinzip für die gemeinsame Messung nichtkommutierender Variablen. American Journal of Physics 62.11 (1994): 986-993], das einige Einzelheiten zu gemeinsamen Messungen für Ort und Impuls enthält.