Positionsvektor von der Rotationsachse in einer rotierenden Kugel

Question

Positionsvektor von der Rotationsachse in einer rotierenden Kugel

Physik
Winkelgeschwindigkeit
Rotationskinematik
Hausaufgaben-und-Übungen

camd92

Im Lehrbuch der Strömungsmechanik habe ich folgendes Beispiel gefunden:

Im rotierenden Kugelviskosimeter eine feste Kugel mit Radius $R$ hängt an einem Draht und rotiert langsam mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ um die Längsachse des Drahtes in einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit. Die Flüssigkeit ist weit entfernt von der Kugel ruhig.

(a) Verwenden Sie die Haftfestigkeits-Randbedingung auf der Oberfläche der rotierenden Kugel, um die funktionale Form des Fluidgeschwindigkeitsprofils zu postulieren, wenn die Rotation langsam genug ist und Zentrifugalkräfte vernachlässigt werden können.

Antwort : Betrachten Sie die Starrkörperrotation einer festen Kugel um die $z$ Achse eines kartesischen Koordinatensystems und berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor an der Fluid-Festkörper-Grenzfläche, indem Sie die Haftbedingung aufrufen:
$\begin{matrix} (1) & \vec{v} = {(\vec{Ω} \times \vec{R}) |}_{R = R} \end{matrix}$ $\vec{v}=\left(\left .\vec{\Omega} \times \vec{r} \right) \right|_{r=R} \tag{1}$

Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist in der orientiert $z$ Richtung (also = $\Omega \vec{\delta}_{z}$ ) und der Positionsvektor von der Rotationsachse (d. h. entlang des Drahts) zu einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der festen Kugel ist:
$\begin{matrix} (2) & \vec{R} = R Sünde (θ) ({\vec{δ}}_{R} Sünde (θ) + {\vec{δ}}_{θ} \cos (θ)) \end{matrix}$ $\vec{r}=R\sin(\theta)\left(\vec{\delta}_{r}\sin(\theta)+\vec{\delta}_{\theta}\cos(\theta) \right) \tag{2}$

Wo $\theta$ ist der Polarwinkel gemessen von der $z$ Achse.[...]

Meine Fragen sind:

1) Warum der Ortsvektor nicht durch den entsprechenden Ausdruck in Kugelkoordinaten definiert ist:

\vec{R} = R {\vec{δ}}_{R}

$\vec{r}=R\vec{\delta}_{r}$

Hier, $\vec{\delta}_{i}$ ist der Einheitsvektor in der $i$ Richtung.

2) Wie leiten Sie den Ausdruck in der Gleichung ab $(2)$

Bearbeiten:

Ich habe einige Fortschritte gemacht, seit ich diese Frage das letzte Mal gestellt habe. Ich habe anhand des Kommentars von @npojo festgestellt, dass es eine Beziehung zwischen dem gibt $\vec{r}$ und das $\vec{\delta}_{r}^{C}$ Einheitsvektor (der Einheitsvektor in der $r$ Richtung in Zylinderkoordinaten).

\vec{R} = R Sünde (θ) {\vec{δ}}_{R}^{C}

$\vec{r}=R\sin(\theta)\vec{\delta}_{r}^{C}$

$\vec{\delta}_{r}^{C}$ im kartesischen Koordinatensystem ist:

{\vec{δ}}_{R}^{C} = \cos (θ^{C}) {\vec{δ}}_{X} + Sünde (θ^{C}) {\vec{δ}}_{j}

$\vec{\delta}_{r}^{C}=\cos(\theta^{C})\vec{\delta}_{x}+\sin(\theta^{C})\vec{\delta}_{y}$

Wo $\theta^{C}$ ist der Polarwinkel in Zylinderkoordinaten und gleich dem Azimutwinkel in sphärischen Koordinaten $\phi$ , daher:

{\vec{δ}}_{R}^{C} = \cos (ϕ) {\vec{δ}}_{X} + Sünde (ϕ) {\vec{δ}}_{j}

$\vec{\delta}_{r}^{C}=\cos(\phi)\vec{\delta}_{x}+\sin(\phi)\vec{\delta}_{y}$

Die Beziehung von sphärischen und kartesischen Einheitsvektoren sind:

{\vec{δ}}_{X} = (Sünde θ \cos ϕ) {\vec{δ}}_{R} + (\cos θ \cos ϕ) {\vec{δ}}_{θ} + (- Sünde ϕ) {\vec{δ}}_{ϕ}

$\vec{\delta}_{x}=(\sin\theta\cos\phi)\vec{\delta}_{r}+(\cos\theta\cos\phi)\vec{\delta}_{\theta}+(-\sin\phi)\vec{\delta}_{\phi}$

{\vec{δ}}_{j} = (Sünde θ Sünde ϕ) {\vec{δ}}_{R} + (\cos θ Sünde ϕ) {\vec{δ}}_{θ} + (\cos ϕ) {\vec{δ}}_{ϕ}

$\vec{\delta}_{y}=(\sin\theta\sin\phi)\vec{\delta}_{r}+(\cos\theta\sin\phi)\vec{\delta}_{\theta}+(\cos\phi)\vec{\delta}_{\phi}$

endlich bekommen wir:

{\vec{δ}}_{R}^{C} = Sünde θ (\cos^{2} ϕ + {Sünde}^{2} ϕ) {\vec{δ}}_{R} + \cos θ (\cos^{2} ϕ + {Sünde}^{2} ϕ) {\vec{δ}}_{θ}

$\vec{\delta}_{r}^{C}=\sin\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)\vec{\delta}_{r}+\cos\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)\vec{\delta}_{\theta}$

{\vec{δ}}_{R}^{C} = ({\vec{δ}}_{R} Sünde (θ) + {\vec{δ}}_{θ} \cos (θ))

$\boxed{\vec{\delta}_{r}^{C}=\left(\vec{\delta}_{r}\sin(\theta)+\vec{\delta}_{\theta}\cos(\theta) \right)}$

Flaudemus

Was sagt Ihr Buch über den Winkel?

θ

$\theta$ ? Wie ist es definiert?

npojo

Wie bei (1) ist r von der Rotationsachse aus definiert, nicht vom Kugelmittelpunkt. Das sind also Zylinderkoordinaten. In Bezug auf (2) vermute ich ganz links

θ

$\theta$ ist falsch und sollte gesagt werden,

ϕ

$\phi$ , der den Breitengrad auf der Kugel definiert.

camd92

@flaudemus das Lehrbuch sagt: "wo

θ

$\theta$ ist der Polarwinkel gemessen von der

z

$z$ Achse."

Antworten (1)

Positionsvektor von der Rotationsachse in einer rotierenden Kugel

Was sagt Ihr Buch über den Winkel? $\theta$ ? Wie ist es definiert?
Wie bei (1) ist r von der Rotationsachse aus definiert, nicht vom Kugelmittelpunkt. Das sind also Zylinderkoordinaten. In Bezug auf (2) vermute ich ganz links $\theta$ ist falsch und sollte gesagt werden, $\phi$ , der den Breitengrad auf der Kugel definiert.
@flaudemus das Lehrbuch sagt: "wo $\theta$ ist der Polarwinkel gemessen von der $z$ Achse."

Eli · Answer 1

Ich habe ein Problem mit Ihren Berechnungen?

Sie können eine Kugel "erstellen", indem Sie sie drehen (um die $z$ Achse) ein Halbkreis in der ( $x',z$ ) Ebene .

Zuerst berechne ich die Komponenten des Vektors $\vec{r}$

R_{X^{'}} = R Sünde (θ)

$r_{x'}=R\sin(\theta)$

transformiert in kartesische Koordinaten (Kugelparameter) :

\frac{1}{R} \vec{R} = [\begin{matrix} \cos (ϕ) & - Sünde (ϕ) & 0 \\ Sünde (ϕ) & \cos (ϕ) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} R_{X^{'}} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos (ϕ) Sünde (θ) \\ Sünde (ϕ) Sünde (θ) \\ 0 \end{matrix}] = Sünde (θ) [\begin{matrix} \cos (ϕ) \\ Sünde (ϕ) \\ 0 \end{matrix}]

$\frac{1}{R}\,\vec{r}= \begin{bmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{x'} \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos(\phi)\,\sin(\theta) \\ \sin(\phi)\,\sin(\theta) \\ 0 \\ \end{bmatrix}=\sin(\theta)\,\begin{bmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

also die Komponenten des Vektors $\vec{r}$ Sind:

\vec{R} = [\begin{matrix} X \\ j \\ z \end{matrix}] = R Sünde (θ) [\begin{matrix} \cos (ϕ) \\ Sünde (ϕ) \\ 0 \end{matrix}]

$\vec{r}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = R\,\sin(\theta)\begin{bmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

der Vektor in der letzten Zeile: $[\begin{matrix} \cos (ϕ) \\ Sünde (ϕ) \\ 0 \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ ist in kartesischen Koordinaten $xyz$ ?

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npojo

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Eli

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