Die Formel für die zentripetale (radiale) Beschleunigung ist bekannt, und es gibt viele Beweise dafür:
Alle Beweise, die ich gesehen habe, beruhen jedoch auf der Tatsache, dass es sich um eine gleichmäßige Kreisbewegung handelt und sich die Größe des tangentialen Geschwindigkeitsvektors nicht ändert. Nehmen Sie zum Beispiel den klassischen Beweis mit ähnlichen Dreiecken – die Ähnlichkeit kann nur festgestellt werden, wenn der endgültige tangentiale Geschwindigkeitsvektor und der anfängliche dieselbe Länge haben.
Nehmen Sie außerdem diesen auf Kalkül basierenden Beweis von der Khan Academy, der wie folgt umrissen ist:
Damit dieser Beweis funktioniert, muss als Konstante angesehen werden, , das hängt nicht von der Zeit ab. Bei ungleichförmiger Kreisbewegung ist dies jedoch nicht immer der Fall, da neben einer radialen auch eine tangentiale Beschleunigung existiert, muss von der Zeit abhängen und ist nicht notwendigerweise ein konstanter Wert.
Intuitiv verstehe ich, dass die Zentripetal- / Radialbeschleunigung nur von der unterschiedlichen Ausrichtung zwischen zwei tangentialen Geschwindigkeitsvektoren abhängt und dass ihre Größe keine Rolle spielt - daher gilt die Formel intuitiv im ungleichmäßigen Fall. Wie würden Sie jedoch vorgehen, um einen der vorgelegten Beweise so zu modifizieren, dass sie in diesem Fall noch gültig sind? Oder gibt es alternativ einen anderen Beweis, der auch dann gültig ist, wenn eine Tangentialbeschleunigung vorliegt?
Gemäß dem Vorschlag einer der Antworten lasse ich mit der Zeit variieren und nahm seine Ableitung als . Das ist bisher meine Arbeit. Leider hänge ich nach dem letzten Schritt fest.
Von hier an, wird als gerecht dargestellt für Kürze und Klarheit
Die richtige Ableitung der Zentripetalbeschleunigung – ohne die Annahme, dass irgendwelche kinematischen Variablen konstant sind – erfordert ein solides Verständnis der beiden stationären kartesischen Einheitsvektoren Und sowie die rotierenden polaren Einheitsvektoren Und . Die kartesischen Einheitsvektoren Und sind stationär und immer mit der X- bzw. Y-Achse ausgerichtet, während die polaren Einheitsvektoren Und mit einer Winkelgeschwindigkeit von drehen und zeigen in die Richtungen mit zunehmendem Radius bzw. Winkel. Die beigefügte Grafik unten zeigt die beiden übereinandergelegten Basisvektorpaare.
Der Positionsvektor des Objekts ist offensichtlich definiert als:
,
mit
Weniger offensichtlich kann gezeigt werden, dass die polaren Einheitsvektoren Und kann nur durch die kartesischen Einheitsvektoren ausgedrückt werden Und und die Winkelstellung als,
Und .
Diese beiden Gleichungen sind äußerst wichtig, da sie der Schlüssel zum Ausdrücken der kartesischen Beschleunigung in Polarkoordinaten sind, von denen einer der Terme unser Wunsch sein wird Zentripetalbeschleunigung. In Zukunft ist die Vektorbeschleunigung des Objekts in kartesischen Koordinaten einfach
.
Beginnen mit Und und einmal differenzieren, haben wir
Und .
Nochmals differenzieren, werden wir haben
, so dass
.
Ebenso die y-Beschleunigung wird
, so dass
.
Nun müssen wir diese skalaren Ableitungen in unsere Formulierung für die Vektorbeschleunigung einsetzen. In kartesischen Koordinaten ist dies
was in folgende Form umgeformt werden kann:
Aber wie wir schon gesehen haben, ist das einfach gleich
Wie wir jetzt aus der Durchführung der vollständigen Ableitung erkennen können, gibt es tatsächlich jeweils zwei Komponenten sowohl für die radiale als auch für die tangentiale Beschleunigung. Der Der Ausdruck ist direkt gleich der zweiten Ableitung der Positionsvektorgröße. Der zweite Begriff, , ist unsere lang gesuchte Zentripetalbeschleunigung , und (wie erwartet) zeigt er in die negative radiale Richtung. Die tangentialen Begriffe sind vielleicht etwas weniger intuitiv. Der Begriff ist die Beschleunigung, die immer dann auftritt, wenn der Radius und die Winkelbeschleunigung sind beide ungleich Null (stellen Sie sich die tangentiale Beschleunigung einer Turbinenschaufel eines Düsentriebwerks vor, wenn das Triebwerk aufspult). Die letzte Amtszeit ist die sogenannte Coriolis- Beschleunigung , die immer dann auftritt, wenn sich Radius und Winkel gleichzeitig ändern. Es entsteht, weil bei einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit die jede Sekunde zurückgelegte Bogenlänge mit dem Radius zunimmt (die Tangentialgeschwindigkeit nimmt mit dem Radius zu). Somit hat ein Objekt mit einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit unterschiedliche Tangentialgeschwindigkeiten bei unterschiedlichen lokalen Rotationsradien. Ändert sich der Radius mit der Zeit ( ) und der Winkelgeschwindigkeit ungleich Null ist, dann ändert sich die Tangentialgeschwindigkeit mit der Zeit, was per Definition eine Tangentialbeschleunigung ist.
Ich skizziere dies und gebe das Endergebnis an, damit das OP den Spaß daran hat, dies selbst herauszufinden. Zukünftige Antwortende, bitte arbeiten Sie das nicht aus
Alles, was Sie tun müssen, ist zuzulassen eine Funktion der Zeit sein. Du bekommst extra Terme in Ihrer Gleichung, und Sie erhalten ein Endergebnis, das dies aussagt
Wo ist proportional zu und zeigt tangential zum Kreis und ist proportional zu und zeigt radial nach innen.
Die Antwort von Bryson S. ist solide, gründlich und sehr gut, ebenso wie der Hinweis von Jerry Schirmer. Dies ist lediglich eine andere Betrachtungsweise des Problems.
Wir können, wie Jerry Schirmer betont, zwei Komponenten der Beschleunigung betrachten; eine Tangential- und eine Normalkomponente. Beachten Sie, bevor wir beginnen, dass die Geschwindigkeit immer tangential zum Weg zeigt, den ein Teilchen zurücklegt. Dies ist intuitiv leicht zu erkennen (stellen Sie sich vor, Sie fahren auf einer Straße) und kann anhand der Definition der Geschwindigkeit nachgewiesen werden.
Nun ist die Krümmung, eine geometrische Eigenschaft von Kurven, wie folgt definiert: , Wo ist die Bogenlänge einer beliebigen Kurve. Die Krümmung ist in diesem Fall nützlich, weil wir vereinfachen können mit der Kettenregel in . Nun, mit der Tatsache, dass ein Einheitsvektor ist und somit eine konstante Größe hat, können Sie das Skalarprodukt nehmen Und und zeigen, dass das Ergebnis Null ist, dh dass Und sind senkrecht. Daraus erhalten wir unter Verwendung des Einheitsnormalenvektors (senkrecht zur Tangente und zur konkaven Seite zeigend). . Wir hätten dieses Ergebnis auch erhalten können, indem wir die Frenetschen Gleichungen direkt angewendet hätten.
Nun ist der Krümmungsradius tatsächlich der Kehrwert der Krümmung; Während dies die Definition für nicht kreisförmige Kurven ist, kann dies für Kreise nachgewiesen werden, indem ein Referenzrahmen mit dem Mittelpunkt des Kreises als Ursprung genommen wird, dann der Tangenteneinheitsvektor in seine Komponenten zerlegt und dann geschrieben wird Winkel in Bezug auf die Bogenlänge, dann differenzieren und dann die Größe des resultierenden Vektors finden (wenn ein Beweis gewünscht wird, dann fragen Sie ihn in den Kommentaren).
Von hier bekommen wir
Und von hier aus folgt das gesuchte Ergebnis.
Aus Wikipedia ,
Nehmen wir als Verallgemeinerung des Falls der gleichförmigen Kreisbewegung an, dass die Winkelgeschwindigkeit der Drehung nicht konstant ist. Die Beschleunigung hat jetzt eine tangentiale Komponente, wie im Bild unten gezeigt. Dieser Fall wird verwendet, um eine Ableitungsstrategie basierend auf einem Polarkoordinatensystem zu demonstrieren.
Bildquelle: Wikipedia
Lassen ein Vektor sein, der die Position eines Massenpunktes als Funktion der Zeit beschreibt. Da wir von einer Kreisbewegung ausgehen, lassen wir , Wo ist eine Konstante (der Radius des Kreises) und ist der Einheitsvektor, der vom Ursprung zur Punktmasse zeigt. Die Richtung von wird beschrieben von , der Winkel zwischen der x-Achse und dem Einheitsvektor, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der x-Achse. Der andere Einheitsvektor für Polarkoordinaten, steht senkrecht dazu und zeigt in Richtung steigend . Diese polaren Einheitsvektoren können als kartesische Einheitsvektoren in x- und y-Richtung bezeichnet werden Und bzw.
Und
Man kann differenzieren, um die Geschwindigkeit zu finden:Wo ist die Winkelgeschwindigkeit .
Dieses Ergebnis für die Geschwindigkeit stimmt mit den Erwartungen überein, dass die Geschwindigkeit tangential zum Kreis gerichtet sein sollte und dass die Größe der Geschwindigkeit so sein sollte . Wieder differenzieren, und das merken
Wir finden, dass die Beschleunigung, Ist:
Somit sind die radialen und tangentialen Komponenten der Beschleunigung:Wo ist die Größe der Geschwindigkeit (der Geschwindigkeit).
Diese Gleichungen drücken mathematisch aus, dass bei einem Körper, der sich auf einer Kreisbahn mit sich ändernder Geschwindigkeit bewegt, die Beschleunigung des Körpers in eine senkrechte, die Bewegungsrichtung ändernde Komponente (Zentripetalbeschleunigung) und eine Parallele zerlegt werden kann , oder tangentiale Komponente, die die Geschwindigkeit ändert.
Winter
Bryson S.
Jerry Schirmer
1110101001
Bryson S.
Bryson S.
Jerry Schirmer
Bryson S.
John Alexiou