Potenzielle Energiedefinition

Die einfachste Definition der potentiellen Energie, zumindest in 1D, ist einfach als das unbestimmte Integral der Kraft,$U=-\int F(x)dx.$Dieser hat beliebige Nullstellen und sein Wert hat an sich keine physikalische Bedeutung, aber seine Änderungen haben eine. In 2 und 3 Dimensionen die potentielle Energie$U$ist am besten definiert als die Funktion derart, dass für eine ortsabhängige Kraft$\mathbf{F}(\mathbf{r})$, die Beziehung$\mathbf{F}=-\nabla U$hält. Auch hier haben nur die Ableitungen der potentiellen Energie eine physikalische Bedeutung, nicht die Funktion an sich.

Ich werde diese Frage in einen größeren Zusammenhang stellen.

(Ich gehe in Bezug auf Ihre Frage von folgendem aus: Mir scheint, Sie versuchen, die folgende Form der Erhöhung der potenziellen Energie zu berücksichtigen: Ein Kran, der eine Masse mit konstanter Geschwindigkeit anhebt, erhöht die potenzielle Energie dieser Masse.)

Wie angekündigt, möchte ich dies in einen größeren Kontext stellen: Was braucht es, um im Laufe des Physikstudiums eine gute Definition eines von uns verwendeten Konzepts zu finden?

Die Frage der Definitionen in der Physik wird ausführlich in dem Buch „Gravitation“ von Misner, Thorne und Wheeler diskutiert:
Abschnitt 3.1

Hier und anderswo in der Wissenschaft [...] ist diese Ansicht veraltet, die früher hieß: „Definiere deine Begriffe, bevor du fortfährst.“ Alle Gesetze und Theorien der Physik, einschließlich des Lorentzkraftgesetzes, haben diesen tiefen und subtilen Charakter, dass sie sowohl die von ihnen verwendeten Konzepte (hier B und E) definieren als auch Aussagen über diese Konzepte treffen. Im Gegensatz dazu beraubt das Fehlen einiger Theorien, Gesetze und Prinzipien eines der Mittel, um Konzepte richtig zu definieren oder sogar zu verwenden. Jeder Fortschritt im menschlichen Wissen ist in diesem Sinne wirklich kreativ: dass Theorie, Konzept, Gesetz und Messmethode – für immer untrennbar – in Einheit in die Welt geboren werden.

Die Autoren kommen auf dieses Problem in Abschnitt 12.3 zurück

Grundsatz: Wie kann man zuerst die Gravitationsgesetze und Eigenschaften der Raumzeit in galiläischen Koordinaten niederschreiben (Abschnitt 12.1) und sich erst danach (hier) mit der Natur des Koordinatensystems und seiner Nichteindeutigkeit befassen? Antwort: ein Zitat aus Abschnitt 3.1, leicht modifiziert); [...] „Alle Gesetze und Theorien der Physik, einschließlich des Newtonschen Gravitationsgesetzes, haben diesen tiefen und subtilen Charakter, dass sie sowohl die von ihnen verwendeten Konzepte (hier Galileische Koordinaten) definieren als auch Aussagen über diese Konzepte treffen.“

Um das Konzept der Energie zu diskutieren, muss ich zuerst das Arbeit-Energie-Theorem ableiten.

In der Bewegungstheorie sind Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung die räumlich-zeitlichen Größen, mit denen wir arbeiten.

Die Ableitung des Arbeits-Energie-Theorems macht sich die Tatsache zunutze, dass diese drei in einer kaskadierenden Beziehung zueinander stehen: Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung der Position; Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit.

Ausgangspunkt ist das zweite Newtonsche Gesetz:

Der nächste Schritt besteht darin, beide Seiten in Bezug auf die räumliche Koordinate zu integrieren, wobei vom Startpunkt aus integriert wird$s_0$zum Schlusspunkt$s$

Wir fahren fort, die rechte Seite zu erarbeiten. Ich lasse den Faktor weg$m$vorübergehend ist es ein multiplikativer Faktor, der einfach über jeden Schritt übertragen wird

Verwenden Sie (1), um das Differential von zu ändern$ds$Zu$dt$. Da die Differenz geändert wird, ändern sich die Grenzen entsprechend.

Die Bestellung ändern:

Änderung des Differentials nach (2), mit entsprechender Änderung der Grenzwerte.

Also haben wir:

Wir multiplizieren beide Seiten mit$m$, und dann ergibt die rechte Seite von (9) die rechte Seite von (4). Das Ergebnis: das Arbeits-Energie-Theorem:

Wir haben das$F=ma$ist eine Differentialgleichung, die eine Beziehung zwischen der zweiten Ableitung der Positionskoordinate (Beschleunigung) und der ausgeübten Kraft angibt. (Kraft ist eine Funktion der Positionskoordinate.)

(10) drückt noch aus$F=ma$, es ist nur so, dass der gesamte Ausdruck (sowohl die linke als auch die rechte Seite) in Bezug auf die Positionskoordinate in das Integral umgewandelt wurde. Die Ableitung dieses Theorems erfordert keine zusätzliche physikalische Hypothese; alles wird mit (1) und (2) erreicht

Über den Begriff$\tfrac{1}{2}mv^2$auf der rechten Seite. Aus Kollisionsexperimenten haben wir auch einen Ausdruck im Quadrat der Geschwindigkeit. Bei vollkommen elastischen Stößen eine Größe, die proportional ist$mv^2$wird konserviert . Die Kollisionsexperimente grenzen diese proportionale Eigenschaft nicht auf einen bestimmten Wert ein. Bei reinen Kollisionsexperimenten können Sie beliebige Multiplikationsfaktoren voranstellen$mv^2$, solange Sie es konsequent verwenden. (Historisch wurde dieser Multiplikationsfaktor auf ‚1‘ gesetzt, und die erhaltene Größe (bei Stößen) wurde als ‚die lebendige Kraft‘ (vis viva) bezeichnet. Das heißt: Historisch gesehen hatten sich die Physiker darauf festgelegt$mv^2$als Ausdruck für die vis viva.)

(10) gibt den Multiplikationsfaktor an:$\tfrac{1}{2}$

(10) zeigt, dass bei elastischen Stößen die Menge$\tfrac{1}{2}mv^2$erhalten bleibt, geht auf F=ma zurück.

Es gibt noch einen weiteren sehr zwingenden Grund, F=ma in das entsprechende Integral-mit-Bezug-auf-Position umzuwandeln.

Im allgemeinen Fall beinhaltet die stattfindende Physik Bewegung in allen drei räumlichen Dimensionen. Um dies mit der Gesetzbewegung in Form von F = ma zu tun, müssen Sie den Kraftvektor in Kraftvektorkomponenten zerlegen und den Beschleunigungsvektor in Beschleunigungsvektorkomponenten zerlegen.

Die Bewegung sei in zwei räumlichen Dimensionen.
Mit:
$v_x$x-Komponente der Geschwindigkeit
$v_y$y-Komponente der Geschwindigkeit
$v_\text{resultant}$Resultierende Geschwindigkeit

Satz des Pythagoras zur Geschwindigkeitszusammensetzung:

Das heißt: die Menge$\tfrac{1}{2}mv^2$, die proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, stimmt mit dem Satz des Pythagoras überein.

Wenn man die Physik in Bezug auf Energie ausdrückt: Die resultierende kinetische Energie ist einfach die Summe der kinetischen Komponentenenergien. Wie wir wissen, ist es bei der Berechnung nicht notwendig, einen Vektor zu definieren, der die Richtung der kinetischen Energie angibt. Die Richtungsinformation der Geschwindigkeit, die in die kinetische Energie eingeht, kann verworfen werden. Die kinetische Energie kann ohne Verlust der Aussagekraft als Skalar behandelt werden .

Wie können wir es uns leisten, die Richtungsinformation des Geschwindigkeitsvektors zu verwerfen? Sie kann verworfen werden, da Sie immer noch diese Richtungsinformationen haben . Beide Seiten von F=ma wurden integriert. Die Richtungsinformation des Kraftvektors ist noch vorhanden, in Form des Gradienten der potentiellen Energie.

Lassen Sie mich nun folgenden Verlauf nehmen:

Wie wir wissen: das Symbol$\Delta$wird für das Konzept der Veränderungsmenge verwendet .

Der obige Satz zeigt, dass wenn das Integral$\int_{s_0}^s F \ ds$Gut definiert ist dann der Betrag der Änderung der kinetischen Energie beim Bewegen aus$s_0$Zu$s$wird gleich dem Wert von sein$\int_{s_0}^s F \ ds$.

Die im obigen Array ausgedrückte Gleichheit bietet eine große Chance:

Wir definieren ein Konzept der potentiellen Energie, indem wir den Betrag der Änderung der potentiellen Energie als das Negative der vom Punkt geleisteten Arbeit definieren$s_0$darauf hinweisen$s$

Aus (10) folgt, dass in Fällen, in denen das Integral$\int_{s_0}^s F \ ds$wohldefiniert ist, bleibt die Summe aus potentieller und kinetischer Energie erhalten.

Lassen Sie mich nun die Bedingung diskutieren, die erfüllt sein muss, damit das Integral der Kraft in Bezug auf den Ort gut definiert ist.

Die Schwerkraft ist ein Beispiel für eine Kraft mit der Eigenschaft, dass der Betrag der Geschwindigkeitsänderung, die sie verursacht, unabhängig von der Geschwindigkeit ist, die das beschleunigte Objekt bereits hat. Das ist eigentlich eine bemerkenswerte Eigenschaft. Stellen Sie sich zum Vergleich vor, Sie würden beispielsweise einen Einkaufswagen schieben. Sie können für ein paar Sekunden beschleunigen, aber bis dahin haben Sie Ihre maximale Laufgeschwindigkeit erreicht und können körperlich nicht mehr beschleunigen. Ihre Fähigkeit, den Einkaufswagen zu beschleunigen, erreicht sehr schnell einen Sättigungspunkt. Aber im Fall des Newtonschen Gesetzes der universellen Gravitation gibt es keine solche Sättigung. Unabhängig davon, ob sich ein Objekt schnell oder langsam bewegt, ist der Betrag der Geschwindigkeitsänderung bei der Bewegung von einem Potential zum anderen gleich.

Was potentielle Energie ist

Eine grundlegende Eigenschaft der Integrationsoperation ist, dass das Ergebnis der Integration keinen eigenen Nullpunkt hat.

Wenn Sie einen Punkt A und einen Punkt B haben, dann ist das, was definierbar ist, die Potentialdifferenz zwischen diesen beiden Punkten. Physikalisch sinnvoll ist nur der Potentialunterschied.

In jeder Situation, in der eine potentielle Energie definiert ist, ist die Wahl des Nullpunkts willkürlich. Im Fall der Gravitation, die dem Gesetz des umgekehrten Quadrats entspricht, ist es zweckmäßig, den Ort der potentiellen Energie von Null auf unendlich zu setzen. Es gibt keinen eigentlichen Grund, den Nullpunkt dort zu setzen, es ist nur der bequemste Weg, dies zu tun.

Ein Potential als Funktion der Positionskoordinate kann nicht getrennt von der Kraft als Funktion der Position gedacht werden, die die Quelle des Integrals ist. Allerdings ist es nicht ungewöhnlich, dass in Theorien immer nur die potentielle Energieform notiert wird.

Arbeit erledigt

Historisch gesehen lautet der Name des Theorems „Work-Energy Theorem“. Dies ist einer der vielen skurrilen Fälle, in denen der Name eines Konzepts ziemlich falsch ist. Ein besserer Name wäre einfach: 'Energiesatz'. Die wesentlichen Begriffe in der Ableitung sind Kraft und Energie. Die geleistete Arbeit ermöglicht eine gewisse Effizienz der Kommunikation, es ist eine effektive Abkürzung, aber sie ist nicht wesentlich.

Zurück zu Misner, Thorne, Wheeler: Es liegt in der Natur der Wissenschaft, dass alle Gesetze und Theorien der Physik sowohl die Konzepte definieren, die sie verwenden, als auch Aussagen über diese Konzepte machen.

Ohne das Arbeits-Energie-Theorem gäbe es keinen Grund, die Konzepte der kinetischen Energie und der potentiellen Energie zu definieren.

In der klassischen Mechanik, Die Änderung der potentiellen Energie$U_{2} - U_{1}$(relativ zu einem Bezugsrahmen$S$) eines physikalischen Systems bestehend aus Newtonschen Punktmassen$P_{1},P_{2},P_{3},...$aufgrund einer inneren konservativen Kraft$\mathbf{F}$arbeiten an$P_{k}$im Zeitintervall$[t_{1},t_{2}] \;\,(t_{2}>t_{1})$dabei der Positionsvektor$\mathbf{r}$von$P_{k}$relativ zu$S$ändert sich von$\mathbf{r_{1}}$Zu$\mathbf{r_{2}}$ist definiert als:

$U_{2} - U_{1} := -\int_{\mathbf{r_{1}}}^{\mathbf{r_{2}}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Die RHS ist eindeutig das Negativ der geleisteten Arbeit$\mathbf{F}$An$P_{k}$relativ zu$S$während der Pause$[t_{1}, t_{2}]$. Man ist frei, eine beliebige Position von zu wählen$P_{k}$als Nullpunkt der potentiellen Energie des Systems aufgrund$\mathbf{F}$(wrt$S$) und diese Position wird herkömmlicherweise als unendlich angenommen. Ihre erste Definition ist also richtig, obwohl ich Ihnen raten würde, für mehr Klarheit eine genauere Notation zu verwenden.

Die erste Definition ist einfacher:

Bei der Gravitationskraft hat sie das gleiche negative Vorzeichen wie die Verschiebung, also ist der Integrand positiv. Nehmen$V_{\infty} = 0$, das Ergebnis ist negativ, wie es sollte. In diesem Fall kommt es zu einem entsprechenden Anstieg der kinetischen Energie.

Die zweite Definition ist, wie Sie sagten, besser mit dem elektrischen Potential umzugehen, um eine Ladungsbeschleunigung zu vermeiden. In diesem Fall muss die „bremsende“ Kraft immer gleich und mit entgegengesetzter Richtung der konservativen Kraft sein. Der Integrand ist jetzt negativ, also steht vor dem Integral kein Minuszeichen:

Wenn wir beide Integrale addieren, ist das Ergebnis Null, was in diesem Fall mit keiner Änderung der kinetischen Energie vereinbar ist, da die Nettokraft Null ist.