Pound-Rebka-Snider-Experiment im Inertialsystem

In Schutzs Buch (Seite 120) leitet Schutz zunächst die gravitative Rotverschiebung im PRS-Experiment in einem vorangegangenen Absatz ab.

$\frac{\nu^{\prime}}{\nu}=\frac{m}{m+mgh+O(v^4)}=1-gh+O(v^4)$.

Hier$\nu^{\prime}$ist die Frequenz des Photons an der Spitze des Turms nach dem Experiment, und$\nu$ganz unten. (Das Photon beginnt oben.)

In einem späteren Absatz (Seite 123). Er zeigt, dass in einem Inertialsystem, das ein frei fallendes System zur Erde ist, die gravitative Rotverschiebung 0 ist. Ich zitiere den Abschnitt von Schutz.

Nochmal das Rotverschiebungsexperiment . Betrachten wir nun das Pound-Rebka-Snider-Experiment aus einer anderen Perspektive. Betrachten wir es in einem frei fallenden Rahmen, der, wie wir gesehen haben, zumindest einige der Eigenschaften eines Trägheitsrahmens hat. Nehmen wir den speziellen Rahmen, der ruht, wenn das Photon seine Aufwärtsreise beginnt und danach frei fällt. Da das Photon eine Strecke h aufsteigt, braucht es Zeit$\Delta t = h$oben ankommen. In dieser Zeit hat der Rahmen Geschwindigkeit erlangt$gh$relativ zur Versuchsapparatur nach unten. Die Frequenz des Photons relativ zum frei fallenden Rahmen kann also durch die Rotverschiebungsformel erhalten werden

$\frac{\nu(free falling)}{\nu (apparatus at top)}=\frac{1+gh}{\sqrt{ 1-g^2h^2}}=1+gh+$Terme höherer Ordnung

Aus der ersten Formel in meiner Frage sehen wir, dass wir erhalten, wenn wir Terme höherer Ordnung vernachlässigen$\nu$(Photon unten emittiert) =$\nu$(im frei fallenden Rahmen, wenn das Photon oben ankommt). Es gibt also keine Rotverschiebung in einem frei fallenden Frame. Dies gibt uns eine solide Grundlage für die Annahme, dass der frei fallende Rahmen ein Trägheitsrahmen ist

Die zweite Formel, die ich zitiert habe, habe ich nicht verstanden. Wie haben sie das Zeug in den Nenner bekommen? Die Frequenz im Numerotor ist die Frequenz des Photons am Fuß des Turms im Trägheitssystem, das gleich wäre$\nu$im Nenner der ersten Gleichung und$\nu(apparatus at top)$ist die Frequenz an der Spitze des Turms im frei fallenden Rahmen / Ist das richtig?