PRMO-Modellfrage: "Das kleinste LCM von 20 natürlichen Zahlen, die nicht unbedingt unterschiedlich sind und deren Summe 413 ist, ist _________"

Dies ist eine Frage, die ich auf einem PRMO-Musterpapier gesehen habe, das von einer Institution, an der ich studiere (ich meine, nicht meine Schule, sondern ein Einstiegscoaching-Zentrum), am 1. August 2021 gemäß dem Kalender hier durchgeführt wurde. Ich war zunächst sprachlos, als ich die Frage sah. Ich habe noch nie versucht, mit LCMs zu spielen, aber ich habe es irgendwie geschafft, eine Art Lösung zu finden, die ich unten hinzufüge:

Lassen A 1 , A 2 , A 3 , … , A 20 seien die Zahlen. Da ihre Summe ungerade ist, gibt es mehr ungerade als gerade Zahlen, oder es gibt eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen unter den meisten geraden Zahlen A 1 , A 2 , A 3 usw. Auch 413 = 21 × 19 + 14 , und da heißt es, dass alle A 1 , A 2 , A 3 , etc. sind nicht unbedingt unterschiedlich und da einer von A 1 , A 2 , A 3 , … ist sogar nach der ersten Möglichkeit, das können wir sagen 19   A ich sind 21 und die einzige gerade Zahl unter den 20 ganze Zahlen ist 14 . Auch l C M ( 21 , 21 , 21 , . . . (19 Nr.) , 14 ) = 42 , was somit ein erwägenswerter Kandidat ist.

Ich habe dort aufgehört. Das hat mir auch der Lösungsschlüssel gesagt 42 ist die Antwort Schlüssel ohne Stufen und da ich dieses Problem während der Modellprüfung als schwierig empfunden hatte, sehnte ich mich nach einer Lösung. Ich überprüfte mein Exemplar von Justin Stevens' 'Olympiad Number Theory Through Challenging Problems' und 'Intermediate Number Theory', aber vergebens ), aber da fällt mir noch die zweite Möglichkeit der Summe ein, die doch etwas anspruchsvoller ist, als ich dachte. Auch kann ich die Minimalität nicht beweisen 42 in der Lösungsmenge, was mich wiederum entmutigt und mich denken lässt, dass ich trivial zur Lösung gekommen bin.

Ich würde gerne wissen, ob es einen besseren Weg zur Lösung gibt und wie ich das beweisen oder widerlegen kann 42 ist der minimal mögliche Wert. Auch die Bereitstellung von Links zu ähnlichen Fragen mit unterschiedlichen Summen und Zahlen wird mir beim Lernen eine große Hilfe sein.

28 ⋅ 13 + 7 ⋅ 7 = 413 Und l C M ( 28 , 7 ) = 28
@DavidDiaz also sollte das die Antwort sein?
Und so muss ich im Grunde eine lineare Kombination für die Summe finden und das LCM der Koeffizienten nehmen?
24 ⋅ 16 + 12 ⋅ 2 + 3 + 2 = 413 Und l C M ( 24 , 12 , 3 , 2 ) = 24 . Dies scheint die minimale Antwort zu sein, da der lcm nicht kleiner sein kann als 413 / 20 Und 21 , 22 , Und 23 scheinen nicht zu funktionieren.
@DavidDiaz aber wie passiert das? Das bekomme ich nicht hin.
@DavidDiaz würde es Ihnen etwas ausmachen, eine detaillierte Antwort zu geben, bitte? Das liegt daran, dass ich nicht verstanden habe, welche Methodik für diese Frage erforderlich ist, sei es eine erschöpfende Suche oder ein Theorem oder irgendetwas anderes.
Oder @DavidDiaz ist es, der am wenigsten für die möglichen LCM's von gebunden ist N natürliche Zahlen, deren Summe ist S Ist ⌊ S N ⌋ ? Ich frage das, weil ich noch nie von einem solchen Ergebnis gehört habe.
@DavidDiaz Nun, dann können Sie eine Antwort geben, damit ich sie akzeptieren kann, wenn sie mir klar in den Sinn gekommen ist. Würden Sie mir auch einen Hinweis geben, wie ich dieses Ergebnis beweisen kann?
@ DavidDiaz Nun, ich muss ein bisschen dumm gewesen sein, Sie nach dem Beweis des Ergebnisses zu fragen. Entschuldigung, dass ich mit Ihrer Zeit herumgespielt habe ':)
Obwohl ich eine Antwort auf die mathematische Frage gepostet habe, beantwortet sie Ihre Frage, wie Sie eine Antwort finden , nicht wirklich . Das Wie ist für Sie sehr persönlich. Meine Antwort wurde aus Gründen der Klarheit bearbeitet, um Ihre Metafrage zu beantworten.
@DavidDiaz Was die Frage viel subtiler gemacht haben muss, ist die Tatsache, dass ich irgendwie die falsche Lösung erreicht hatte und hauptsächlich nach einer Überprüfung und Anleitung zu einer Verknüpfung suchte. Die Scheinlösung klang auch für mich überzeugend, also was tun.... Ich bin dummerweise dem Katzengold nachgegangen, das ich gefunden habe :D

Antworten (2)

Die richtige Antwort ist eigentlich 24 , was mit einer Liste erreicht wird, die aus besteht 17 Kopien von 24 , zwei Exemplare von 2 , und ein 1 .

Die größte der Zahlen ist mindestens 413 20 = 20.65 , so ist es zumindest 21 . Das LCM der Zahlen muss also mindestens sein 21 .

Wenn ja 21 , und da sind N Kopien von 21 , die Gesamtsumme S erfüllt

413 = S ≥ 21 N + 7 ( 20 − N ) = 14 N + 140 ,
was sich löst N ≥ 19.5 . Das bedeutet, dass N ≥ 20 , was nicht vorkommen kann.

Wenn ja 22 , seit 11 teilt nicht 413 , es muss eine geben 1 oder ein 2 . Wenn es gibt N Kopien von 22 , wir haben

413 = S ≥ 22 N + 11 ( 19 − N ) + 2 = 11 N + 211 ,
was gibt N ≥ 18.36 … -- Jedoch, 19 Kopien von 22 Summe zu 418 > 413 , das kann also nicht passieren.

Wenn ja 23 , und da sind N Kopien von 23 , alle anderen sind diejenigen, die es gibt

413 = S = 23 N + ( 20 − N ) = 20 + 22 N ,
was keine ganze Zahl ergibt N .

Das Optimum ist also 24 .

Der X ich s besteht aus X M A X und seine Faktoren oder sonst L C M ( X 1 , … , X 20 ) ≥ 2 X M A X ≥ 42 . Kein Wunder, dass sie setzen 42 Als Beispiel war es ein Hinweis!
@CalSchildkraut Ich denke, es war damals ein Tippfehler. Die Tatsache, dass ich mit dem Tippfehler auf die Antwort gekommen bin, war das, was mich verblüfft hatte S , N Zahlen) ist ⌊ S N ⌋ , würden Sie bitte hinzufügen, wie ich zu diesem Ergebnis komme? Wie auch immer, vielen Dank!
@Spectre Das LCM mehrerer Zahlen darf nicht kleiner sein als eine der Zahlen, einschließlich des Maximums, und das Maximum kann nicht kleiner als der Durchschnitt sein.
@RezhaAdrianTanuharja oh ja, es scheint, als hätte ich vergessen, dass das LCM von zwei Zahlen immer größer oder gleich einer der Zahlen (oder beiden) ist. Danke, dass du mich erinnert hast!
@Spectre Bitte! Tatsächlich können Sie eine Untergrenze von erreichen ⌈ S / N ⌉ mit der gleichen Logik.
@CarlSchildkraut ja, das hatte Rezha schon gesagt... Vielen Dank noch einmal! (habe ich es richtig gesagt? Ich hatte ein bisschen Deutsch zum Spaß gelernt, aber es scheint, als hätte mich meine Schulzeit vergessen lassen :D)

Das kleinste LCM von zwanzig Zahlen, die summiert werden 413 Ist 24 .

  • Das LCM kann nicht ungerade sein. Wenn dem so wäre, wären alle zwanzig Zahlen ungerade und ihre Summe gerade.

  • Das LCM kann nicht kleiner sein als 413 20 = 20.65 . Nach der Definition der Teilbarkeit ist jedes Element einer Menge kleiner oder gleich dem LCM der Menge. Wenn das LCM kleiner wäre als 20.65 , dann wäre die Summe der Elemente der Menge kleiner als 413 , ein Widerspruch.

  • Das LCM kann es nicht sein 22 . Ein Satz mit neunzehn 22 s summiert sich auf mehr als 413 . Ein Satz mit siebzehn oder weniger 22 s summiert sich auf weniger als 413 . Nur zwei Sätze haben genau achtzehn 22 s, LCMs von 22 , und ein ungerades Element:

    S 1 = { 22 , 22 , … , 22 ⏟ 18  mal , 2 , 11 }
    S 2 = { 22 , 22 , … , 22 ⏟ 18  mal , 2 , 1 }
    aber die Summe der Elemente von S 1 Ist 409 und die Summe der Elemente von S 2 Ist 399 .

Das LCM kann sein 24 und deshalb 24 ist das geringstmögliche LCM. Es gibt mehrere verschiedene Sätze von Zahlen, die funktionieren, was durch die zahlreichen Faktoren von ermöglicht wird 24 :

{ 24 , 24 , … , 24 ⏟ 16  mal , 12 , 8 , 6 , 3 }
{ 24 , 24 , … , 24 ⏟ 16  mal , 12 , 8 , 8 , 1 }
{ 24 , 24 , … , 24 ⏟ 16  mal , 12 , 12 , 3 , 2 }
{ 24 , 24 , … , 24 ⏟ 16  mal , 12 , 12 , 4 , 1 }
{ 24 , 24 , … , 24 ⏟ 17  mal , 2 , 2 , 1 }
{ 24 , 24 , … , 24 ⏟ 17  mal , 3 , 1 , 1 }

Bearbeiten: Nun, Ihre (häufige und unterbewertete) Meta-Frage: "Wie?"

Stellen Sie sinnvolle Fragen .

Ihre Problemlösungstechnik ist persönlich, es liegt an Ihnen, und verschiedene Ansätze funktionieren in verschiedenen Kontexten besser oder schlechter. Polya schlägt vier Prinzipien für alle Problemlösungsszenarien vor -

  • Verstehen Sie das Problem
  • Mach einen Plan
  • Tu es
  • Überprüfen / überarbeiten

Wenn ich anfangs sprachlos bin, versuche ich, mir sinnvolle Fragen zu stellen. Ich habe mich gefragt, warum sich Ihre Antwort auf gerade und ungerade Zahlen konzentriert. Ich fragte mich, was daran besonders war 42 Und 413 ? Ist es wichtig, dass beide durch teilbar sind? 7 ? Was ein kleineres Vielfaches verhindert 7 von der Arbeit? Wenn 28 funktioniert, warum kann eine noch kleinere Zahl nicht funktionieren? Welche Zahlen können definitiv nicht funktionieren? Aus den Antworten auf meine Teilfragen habe ich die Hauptfrage besser verstanden.

Was definitiv wahr ist, ist, dass Sie zur Lösung von Problemen sinnvolle (und möglicherweise demütigende) Fragen stellen und dann die Feedback-Schleife überstehen müssen, um erneut zu fragen.

danke, aber ich bin mit Rundheit nicht so vertraut (ich habe es gerade gelesen und verstanden, also danke). Auch suche ich keine erschöpfende Suche, aber ja, nette Antwort und nochmals vielen Dank.
@CarlSchildkrauts Art von Algebra- und Zahlentheorie-Kombinationsantwort ist etwas, das für mich gut funktioniert, da eine erschöpfende Suche meine Zeit während des Tests in Anspruch nehmen kann.
Oh mein Gott, ich hatte vergessen, die ganze Antwort von Carl zu lesen ... und ich habe deine für die einzige mit erschöpfender Suche gehalten ... also möchte ich mich entschuldigen. Ja, danke auch für deine Antwort.
(+1) für Ihren Teil „stellen Sie aussagekräftige Fragen“. Dieser Teil hat mir sehr gut gefallen.
@DavidDiaz ja, ich muss zu subtil gewesen sein. Entschuldigen Sie die Mühe und danke, dass Sie den zusätzlichen Teil Ihrer Frage beigetragen haben. Es wird mir und vielen anderen eine große Hilfe sein.
PRMO-Modellfrage: "Das kleinste LCM von 20 natürlichen Zahlen, die nicht unbedingt unterschiedlich sind und deren Summe 413 ist, ist _________"
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