Problem beim Verständnis des Beweises von PVγPVγPV^{\gamma} =Konstante in der Thermodynamik

Ich habe mir den Beweis dieser Beziehung angesehen P v γ = C ; (Wo P ist Druck u v ist Lautstärke) an manchen Stellen, aber ich kann die Logik hinter dem dritten Schritt nicht verstehen.

In REVERSIBLE ADIABATIC Expansion-

W = − P Δ v

Wenn Δ T ist dann der Temperaturabfall C v Δ T = − P Δ v , Wo C v bedeutet spezifische Wärme bei konstantem Volumen. Hier habe ich ein Problem. Ich weiß, hier ist adiabatische Expansion so Q = 0 das ist Δ U oder Δ E = W , aber wie können wir schreiben W = C v Δ T ? (Zweifel 1)

Auch wenn ich nicht verstehe, wie das geschrieben ist, aber ich weiß es trotzdem C v ist die Wärmekapazität bei konstantem Volumen, aber das Volumen ändert sich hier (Ausdehnung), also wie können wir es verwenden? C v das soll nur bei einer bestimmten Lautstärke verwendet werden? (Zweifel 2)

Antworten (3)

Die innere Energie eines einatomigen Gases ist gegeben durch:

E int = 3 2 N R T .

Wo N ist die Anzahl der Mole und R ist die Gaskonstante und T ist die Temperatur.

Der Energieerhaltungssatz ist gegeben durch:

E int = Q + W

Die vom Gas verrichtete Arbeit ist gegeben durch W = − ∫ P D v .

Für ein Gas, das Temperaturänderungen bei konstantem Volumen erfährt, ist die Arbeit W getan, ist daher natürlich null

Δ E int = Q = 3 2 N R Δ T .

Nun definieren wir die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen C v als Wärmemenge Q erforderlich, um die Temperatur eines Mols eines Gases um zu erhöhen 1 Grad bei konstanter Lautstärke. Daher folgt aus der letzten Gleichung:

C v = 3 2 R für ein Mol eines beliebigen einatomigen Gases.

Für einen adiabatischen Prozess, der per Definition auf ein Mol eines Gases angewendet wird Q = 0 daher folgt aus E int = Q + W Das

Δ E int = W = 3 2 R Δ T = − P Δ v .

Seit 3 2 R = C v .

Deshalb

C v Δ T = − P Δ v .

Für jedes gegebene monoatomare Gas, denn das ist immer so C v = 3 2 R , daher können Sie es jederzeit verwenden, unabhängig davon, ob es sich um einen isovolumetrischen Prozess handelt oder nicht.

Können Sie mir bitte sagen, wie oder auf welcher Grundlage Sie E = 3/2nRT in die erste Zeile geschrieben haben? Ich kenne nur ∆U oder E =q+w und wenn Sie mir sagen würden, warum Sie E = 3/2NRT geschrieben haben, denke ich Ihre Antwort wird für mich viel sinnvoller werden !! Oder geben Sie mir zumindest einen Link: Wo kann ich studieren, warum für ein monoatomisches Gas E = 3/2NRT? irgendeine Hilfe?
Außerdem haben Sie nur über einatomiges Gas gesprochen, und selbst wenn Sie es auf zweiatomige oder mehratomige Moleküle erweitern, ist dies immer noch eine Art Beispiel, während ich denke, dass c(v)×∆T=P×∆v ein allgemeines Ergebnis ist und anwendbar ist zu jedem Molekül??richtig?? Wenn nein warum?? Und wenn ja, können Sie den allgemeinen Beweis liefern, der keine fortgeschrittene Analysis verwendet?
Es ist ein allgemeines Ergebnis, dass die innere Energie eines Gases proportional zu seiner Temperatur ist E int = F 2 N R T , mit F die Freiheitsgrade sind, die das Gas hat. Ein monoatomares Gas hat daher 3 Freiheitsgrade (es führt eine Translationsbewegung entlang drei Achsen aus). F = 3 . Man kann dieses Ergebnis unter Annahme des idealen Gasgesetzes beweisen P v = N R T und kinetische Theorie der Wärme. Hier ist ein Link zum Ergebnis: galileo.phys.virginia.edu/classes/252/kinetic_theory.html .
@Freelancer Mein Rat an Sie ist, dass Sie anfangen sollten, Thermodynamik aus einem Lehrbuch zu lesen. Ihnen fehlt der Hintergrund (sowohl physikalisch als auch mathematisch), um dem Beweis zu folgen.
@OmarNagib Genau meine Gedanken

Das wissen wir für einen isochoren Prozess C v = ( ∂ U ∂ T ) v ; dh D U = C v D T bei konstanter Lautstärke.

Jetzt ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik D ¯ Q = D U + D W ; Für adiabatische Prozesse D ¯ Q = 0 .
∴ D U = − D W oder, D U = − P D v

Jetzt D U = C v D T ;

Wenn wir das Volumen des Systems verändern lassen, dann verrichtet das System eine Arbeit gegen den Umgebungsdruck und für diese Arbeit müssen wir Wärme von außen zuführen. Im Falle eines adiabatischen Prozesses liefert die Arbeitsenergie die innere Energie des Gases und deshalb sinkt die Temperatur des Gases. Nun muss diese Reduzierung der inneren Energie sein, D U = C v D T ;
So, D U = C v D T = − P D v

Steigen wir die Temperatur des Gases um D T Halten wir das Volumen konstant, dann müssen wir liefern C v D T Wärmemenge, die die innere Energie des Gases um erhöhen würde D U . Wenn ich nun dieses Gas adiabatisch expandiere und die Temperatur des Gases um reduziere D T dann können wir sagen, dass die extern zugeführte Wärme im isochoren Prozess in Arbeit umgewandelt wird, um das Gas zu expandieren. Also die Veränderung der inneren Energie D U muss sein C v D T

Tut mir leid, @rajesh, aber ich glaube, Sie konnten nicht verstehen, was ich gefragt habe //Bitte lesen Sie die Frage //Ich wollte keinen Beweis für die Beziehung Ich wollte nur jemanden, der den Teil erklärt, den ich gefragt habe, aber ich weiß nicht, was Sie alle habe geschrieben und kann es nicht verstehen
Auch in der allerersten Zeile sprachen Sie von isochorem Prozess und haben die Beziehungen bis zum Ende verwendet, aber der Prozess hier ist nicht isochor !!sonst wäre ∆v gleich Null gewesen und hätte damit Arbeit, ist es aber nicht!!
Ich habe erklärt, warum C v D T = D U im letzten Abs. Wenn Sie das verstehen, denke ich, werden Sie wissen, warum C v kommen in adiabatischer Ableitung.
Entschuldigung, aber bei so vielen Ableitungen wird es wirklich schwierig zu sehen, dass die Dinge versuchen werden, die Antwort immer wieder zu lesen, bis ich sie nicht verstehe. Danke für die Mühe, aber es wird für mich einfach, wenn Sie ein paar mehr Wörter eingeben, anstatt sie zu verwenden so können Symbole wie dieses c(v) = etwas .. etwas in der ersten Zeile Ich habe dieses seltsam aussehende umgekehrte 6-Symbol nirgendwo gesehen, was bedeutet es??
Dieses Symbol definiert die partielle Ableitung bei konstantem Volumen. Ich kann das nicht richtig schreiben. Und es tut mir auch leid, dass ich meine Ans kompliziert gemacht habe. Ich lösche meine ans, wenn Sie wollen.
Das ist nicht nötig. Ich bin sicher, dass jemand später von Ihrer Antwort profitieren wird, wenn nicht jetzt!
Aber ich möchte nur, dass Sie erläutern, wie man U=C(V)×T sagen kann, selbst wenn der Prozess nicht isochor ist
Ja, der Prozess ist nicht isochor, aber die im isochoren Prozess gewonnene Energie wird verwendet, um im nächsten Schritt Arbeit für die adiabatische Expansion zu leisten. Der Verlust an innerer Energie muss also gleich dem Gewinn an innerer Energie im ersten Prozess sein. Und deshalb ist die Änderung der inneren Energie im adiabatischen Prozess gleich der Wärmeaufnahme im isochoren Prozess.
Wenn Sie meinen Punkt immer noch nicht verstehen können, dann tut es mir leid.........

Der Beweis für den adiabatischen Prozess kann viel einfacher verstanden werden, wenn Sie Kalkül verwenden, insbesondere Differentiale multivariabler Funktionen, wie die Antwort von Rajesh Sardar zeigt.

Zum Beispiel, W = − P Δ v ist in diesem Fall falsch, da der Druck während des Prozesses nicht konstant ist (eine Tatsache, die Sie überprüfen können, indem Sie einfach einen Adiabat in einem PV-Diagramm betrachten). Es ist nur ein Sonderfall (für den isobaren Prozess) der allgemeinen Formel δ W = − P D v und der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Die Standardtheorie der Thermodynamik erklärt auch, warum wir für ein ideales Gas immer haben U = C v T , auch wenn der Prozess nicht isochor ist.

Was Sie versuchen (die Formel für den adiabatischen Prozess ohne Kalkül herzuleiten) ist sehr schwierig, wenn nicht unmöglich. Ich schlage vor, Sie vertiefen sich tiefer in die Mathematik des Ganzen und versuchen, das Problem in ein paar Jahren herauszufinden.

Sie meinen also, ich solle w=∆pv schreiben und dass w=p∆v falsch ist, weil der Prozess umkehrbar ist
NEIN, W = P Δ v ist falsch, weil der Prozess nicht isobar ist. Mit Reversibilität hat das nichts zu tun.
Und dass es einen besonderen Grund gibt, warum oder wie U = c (v) × T. Können Sie mir etwas über diesen Grund sagen oder zumindest einen Link bereitstellen, wo ich ihn studieren kann??
Für Ihren zweiten Kommentar, warum kann ich nicht sagen, dass w = p × ∆ v auf der Grundlage der Reversibilität falsch ist, weil, soweit ich es verstehe, bei einem reversiblen Prozess der äußere Druck nicht konstant ist, er ändert sich kontinuierlich, nicht wahr, und Ihre isochore Behauptung ist genauso? ?
Wie gesagt, es ist sinnlos zu versuchen, die Ableitung dieser Formeln zu verstehen, ohne Kalkül gelernt zu haben, also ist mein erster Vorschlag an Sie, ein Buch darüber zu lesen (oder sich ein paar YouTube-Videos anzusehen, es gibt viele davon ) .
Ich kenne Kalkül !! Grund zumindest !! Das heißt, grundlegende Integration, Grenzen, Ableitungen, aber ich denke, das eigentliche Problem hier ist die Theorie und nicht die Mathematik!! Ich möchte nur, dass Sie erklären, wie Sie U = C (V) × T gesagt haben, auch wenn der Prozess nicht isochor ist
Ok dann: Generell für eine Funktion U ( T , v ) Sie können sein genaues Differential schreiben als D U = ( ∂ U ∂ T ) v D T + ( ∂ U ∂ v ) T D v . Wie in den Antworten ausgeführt, ( ∂ U ∂ T ) v = C v , und die Antwort von Omar Nagib deutet darauf hin ( ∂ U ∂ v ) T = 0 für ein ideales Gas. Somit D U = C v D T hält unter allen Bedingungen, und durch die Integration erhalten Sie U = C v T .
@Sobanoodles Ich empfinde an dieser Stelle wirklich tiefes Mitgefühl für Freelancer. Er (oder sie?) fordert eine festere Definition und die Physik hinter der Mathematik – nicht mehr in der Mathematik begraben zu werden. Freiberufler – nähert sich Omars Antwort nicht besser dem, wonach yo9u sucht?
@docscience Ich würde dann gerne Ihre heuristisch orientierte Antwort sehen. Ich glaube fest an mathematische Strenge, die auf die konzeptionelle Physik angewendet wird, aber es könnte eine bessere Antwort geben als die bereits gegebenen, ich bin einfach zu unerfahren, um sie zu sehen.
Problem beim Verständnis des Beweises von PVγPVγPV^{\gamma} =Konstante in der Thermodynamik
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