Project Hail Mary - Bedeutet die Relativitätstheorie, dass wir für interstellare Reisen mehr oder weniger Treibstoff benötigen?

Hier ist eine vereinfachte Berechnung für eine ideale Rakete. Die klassische Raketengleichung, um eine Änderung zu erhalten$\Delta v$in Geschwindigkeit ist

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac{m_0}{m_f}$$

Wo$v_e$ist die Abgasgeschwindigkeit,$m_0$ist die Anfangsmasse und$m_f$ist die Endmasse$m_f<m_0$.

Wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigen, erhalten Sie

$$\Delta v= c\tanh\left(\frac{v_\text{e}}{c} \ln \frac{m_0}{m_f}\right )$$

Wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit. Für klein$v_e\ll c$, beide Gleichungen sind äquivalent.

Allgemein,$x>\tanh(x)$für$x>0$. Dies bedeutet, dass für eine kleinere$m_0/m_f$(weniger Treibstoff) erhalten Sie mit der klassischen Gleichung eine größere Geschwindigkeitsänderung.

Eine detailliertere Berechnung müsste Raketentyp, Flugbahnen, Beschleunigung und vieles mehr beinhalten.

Quelle: Tsiolkovsky-Raketengleichung

Ein Fall für die Eridianer

Vielleicht dachten Eridianer nicht in diesen Begriffen. Sie überlegten sich einfach folgende Route: Das Schiff auf Geschwindigkeit beschleunigen$v_0$, Motor abstellen, Planet mit konstanter Geschwindigkeit erreichen.

Wenn das der Fall ist, dachten sie vielleicht, sie bräuchten eine hohe Geschwindigkeit, um schnell ans Ziel zu kommen. Die benötigte Zeit könnte jedoch aufgrund der Längenkontraktion etwas kürzer sein.

Sie wollten auf Distanz gehen$L$bei konstanter Geschwindigkeit$v_0$in einer Zeit$t$. Klassisch$t=L/v_0$, aber in der speziellen Relativitätstheorie ist$t=L\sqrt{1-v_0^2/c^2}/v_0$. Das bedeutet, dass bei einer gegebenen Geschwindigkeit die beobachtete Zeit für die Schiffsinsassen geringer ist als klassisch erwartet.

Fazit: Vielleicht dachten Eridianer, sie bräuchten eine größere Geschwindigkeit als tatsächlich benötigt wird.

Haftungsausschluss: Ich weiß nichts über das Buch. Doch ohne eine genaue Reiseroute/Geschwindigkeiten/Beschleunigung ist das Rätsel immer noch ungelöst. Wenn die Reise wie oben beschrieben ist, können Sie vielleicht die Raketengleichung verwenden und das Eridians-Paradox gilt (sie haben mehr als nötig verbraucht, siehe Abschnitt unten), aber wenn die Reise anders ist, müssen Sie vergleichen, wie viel Kraftstoff Sie im Vergleich benötigen zum Zeitgewinn.

Ich vernachlässige auch die Zeit zum Beschleunigen und sollte wahrscheinlich die Verzögerung berücksichtigen, um zu landen, aber das ist symmetrisch zum Beschleunigungsteil. Ich denke also, es ist tatsächlich doppelt so viel Kraftstoff, aber die folgenden Argumente sollten immer noch gelten.

Einige Berechnungen

Angenommen, die Eridier wollten Distanz erreichen$L=1\;\mathrm{ly}$In$t=3\;\mathrm{years}$(wie aus dem Inneren des Schiffes wahrgenommen).

Klassisch würden sie brauchen$v_0=c/3$, relativistisch brauchen sie$v_0=c/\sqrt{10}=c/3.16...$.

Setzen Sie es in die Raketengleichung ein, Einstellung$x=v_e/c \ln m_0/m_f$, das verstehen wir klassisch$x=1/3$, während relativistisch$x=\tanh^{-1}(1/\sqrt{10})=0.3272$. Was bedeutet, dass sie etwas weniger Treibstoff hätten verbrauchen können, wenn sie die Relativitätstheorie berücksichtigt hätten.

Lassen Sie uns die Gleichung für ein gegebenes schreiben$L/tc$:

Klassisch

$$x=\frac{L}{tc}$$ während relativistisch

$$x= \tanh^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{1+1/(L/tc)^{2}}}\right]\approx \frac{L}{tc}\left[1-\frac{1}{6}\left(\frac{L}{tc}\right)^2\right]$$

Der$x$relativistisch berechnet ist immer kleiner als klassisch erwartet. Das bedeutet, dass Sie durch die tatsächliche Berücksichtigung der Zeitdilatation immer weniger Kraftstoff benötigen! (gemäß der Reise oben).

Das Buch hatte Recht, denke ich, (ideale) Eridianer lagen tatsächlich falsch.

Die Eridianer hatten das Gefühl, dass sie so schnell wie möglich ankommen mussten, also planten sie, konstant auf etwas mehr Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen und dann auf halber Strecke abzubremsen.

Natürlich machten ihre Zeit-/Geschwindigkeits-/Entfernungsmessungen entlang des Weges keinen Sinn, besonders beim Verzögern, also mussten sie viel anhalten und starten, wenn die Messungen nicht aufgingen. Sie verbrauchten am Ende nicht so viel Kraftstoff, weil sie subjektiv weniger Zeit brauchten als vorhergesagt, um einen bestimmten Punkt zu erreichen, und weil sie ihre Verzögerung aufgrund von Missverständnissen bei der Entfernungsdilatation früher begannen.