Pythagoreische Tripel finden, mit einer Vermutung.

Question

Pythagoreische Tripel finden, mit einer Vermutung.

Geometrie
Mathematik
Zahlentheorie
pythagoräische Tripel
Lösungsverifikation

Löffelbrot

Ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen ( $a , b , c$ Wo $a < b < c$ ) lässt sich (bis zu einem gewissen Grad) mit dem Innenradius ( $r$ ), die Formeln für die Fläche eines Dreiecks und den Satz des Pythagoras.

Wir verwenden diese, um eine Beziehung zwischen zu finden $r$ und die Seiten von $a$ Und $b$ .

$a^2 + b^2 = c^2$

$a^2 = c^2 - b^2$

$a^2 = (c + b)(c -b)$

Wir können jetzt 2 Ausdrücke unterteilen, die äquivalent sind zu $c + b$ Und $c- b$ in den Satz:

Formel für den Innenradius:

$r = ( a + b - c)/2$

$2r = a + b - c$

$2r - a = b - c$

$a - 2r = c - b$

Innenradius multipliziert mit Halbumfangsformel (Eine Formel für die Fläche in rechtwinkligen Dreiecken):

$ab/2 = r (a + b + c)/2$

$ab = r(a + b + c)$

$ab/r = a + b + c$

$ab/r - a = b + c$

Jetzt können wir ersetzen $c - b$ Und $b + c$ .

$a^2 = (ab/r - a)(a - 2r)$

was, wenn neu angeordnet, ist:

$b=\frac{2r\left(a-r\right)}{a-2r}$

Wenn wir einen Wert von ersetzen $a$ Wir können eine Funktion in Bezug auf erstellen $b$ Und $r$ Wo $b = b(r)$

Schreiben wir dies zum Beispiel für das pythagoreische Tripel, wo $a = 3.$

$b(r) = 2r(3 - r)/ 3 - 2r$ ,

Wir können vermuten, dass es nur einen positiven ganzzahligen Wert von gibt $b$ Wo $r$ ist auch eine ganze Zahl im Bereich von $0 < r < a/2$ , was bedeutet, dass wir für beide eine direkte Lösung finden können $b$ Und $r$ durch graphische Darstellung.

https://www.desmos.com/calculator/zzxbryrahc

Hinweis: Wenn Sie sich ansehen, wann $r$ Ist $1$ , das wirst du sehen $b$ Ist $4$ , was im Fall eines pythagoräischen Tripels mit Seitenlängen von ( $3,4,5$ ).

Meine Frage ist, ob es eine Möglichkeit gibt, die Anzahl der Möglichkeiten mehr als nur zu verringern $0 < r < a/2$ Diese Methode wäre ohne die Verwendung eines Grafikrechners für größere pythagoreische Tripel nahezu unmöglich. Jede andere Möglichkeit, dies zu verbessern, wäre sehr willkommen.

Kaffeemath

Wenn Sie angenommen haben

a < b < c

$a<b<c$ Dann

b^{2} - c^{2} < 0

$b^2-c^2<0$ Ihre zweite Linie kann also nicht halten. Es wäre gut, Ihre ersten drei Gleichungen zu überprüfen und sicherzustellen, dass sie alle konsistent sind

a < b < c .

$a<b<c.$

poetase

Die Hälfte aller pythagoräischen Tripel haben

a > b

$a>b$ , wie

(15, 8, 17) (21, 20, 29) \dots

$(15,8,17)\quad (21,20,29) \space \cdots\quad$ Und

c - b

$c-b$ für alle Primitiven ist ein ungerades Quadrat.

poetase

@ Kaffeemathe

b^{2} - c^{2}

$b^2-c^2$ Das Ding hat mich auch verrückt gemacht, also habe ich es repariert. Ich bin mir sicher, dass es ein Tippfehler war und ich hätte es weglassen können, weil es oft schlecht ist, kleine Änderungen vorzunehmen, aber diese hier musste eine Ablenkung für jeden sein, der liest.

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Pythagoreische Tripel finden, mit einer Vermutung.

Wenn Sie angenommen haben $a<b<c$ Dann $b^2-c^2<0$ Ihre zweite Linie kann also nicht halten. Es wäre gut, Ihre ersten drei Gleichungen zu überprüfen und sicherzustellen, dass sie alle konsistent sind $a<b<c.$
Die Hälfte aller pythagoräischen Tripel haben $a>b$ , wie $(15,8,17)\quad (21,20,29) \space \cdots\quad$ Und $c-b$ für alle Primitiven ist ein ungerades Quadrat.
@ Kaffeemathe $b^2-c^2$ Das Ding hat mich auch verrückt gemacht, also habe ich es repariert. Ich bin mir sicher, dass es ein Tippfehler war und ich hätte es weglassen können, weil es oft schlecht ist, kleine Änderungen vorzunehmen, aber diese hier musste eine Ablenkung für jeden sein, der liest.

Jaap Scherphuis · Answer 1

Du hast

B = \frac{2 R (A - R)}{A - 2 R}

$b=\frac{2r\left(a-r\right)}{a-2r}$

Sie können dies umschreiben als:

B = R - \frac{A}{2} + \frac{A^{2}}{2 (A - 2 R)}

$b = r - \frac{a}2 + \frac{a^2}{2(a-2r)}$

Damit dies eine Ganzzahl ist, möchten Sie $a^2$ durch teilbar sein $a-2r$ . Also wenn $a$ gegeben ist, suchen Sie nach den Teilern $d|a^2$ wofür $d<a$ , und dann lassen $r=\frac{a-d}2$ . Natürlich möchten Sie, dass dies auch eine Ganzzahl ist, also möchten Sie das auch $d$ die gleiche Parität haben sollen $a$ .

Beachten Sie, dass nicht alle dieser Divisoren notwendigerweise funktionieren, nicht nur, weil diese aufgrund dieser Hälften im Ausdruck nicht immer eine ganzzahlige Lösung ergeben, sondern auch, weil es selbst bei einer Ganzzahl keine Garantie dafür gibt $a$ , $b$ Und $r$ dass sie tatsächlich ein pythagoreisches Dreieck geben.

Das alles ist auch für sehr große einfach zu bewerkstelligen $a$ vorausgesetzt, Sie haben seine Primfaktorzerlegung.

Dies deutet auch darauf hin, dass es mehrere Werte von geben wird $r$ was mit größeren funktionieren könnte $a$ , so dass Ihre Vermutung wahrscheinlich falsch ist, selbst wenn sie nur auf pythagoreische Dreiecke beschränkt ist.

Bearbeiten:
Beachten Sie, dass pythagoreische Dreiecke immer einen ganzzahligen Inradius haben, sodass Ihre Vermutung im Wesentlichen besagt, dass keine zwei pythagoreischen Dreiecke dieselbe kürzeste Seite haben. Hier sind zwei (primitive) pythagoreische Dreiecke mit derselben kürzesten Seite: $(20, 21, 29)$ Und $(20, 99, 101)$ . Hier ist ein weiteres Paar, das eine kürzeste Seite mit einer ungeraden Länge teilt: $(105, 208, 233)$ Und $(105,608,617)$ .

Henry Lee · Answer 2

Obwohl dies nicht direkt mit Ihrer Methode zusammenhängt, möchte ich einige Punkte anführen, dass dies der Fall von Fermats letztem Satz ist $n=2$ und so könnten Sie einen Teil des Beweises daraus verwenden, um Werte zu finden, was darauf zurückzuführen ist, dass wir sagen können:

A^{2} + B^{2} = C^{2} \Rightarrow (A / C)^{2} + (B / C)^{2} = 1

$a^2+b^2=c^2\Rightarrow (a/c)^2+(b/c)^2=1$ es ist also äquivalent zu dem Versuch, ganzzahlige Koordinaten zu finden

(a / c, b / c)

$(a/c,b/c)$ auf einem Einheitskreis.

Es gibt auch Euklids Formel für die zwei positive ganze Zahlen $m,n$ sind teilerfremd und geben:

(\begin{matrix} A \\ B \\ C \end{matrix}) = (\begin{matrix} M^{2} - N^{2} \\ 2 M N \\ M^{2} + N^{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m^2-n^2\\2mn\\m^2+n^2\end{pmatrix}$ Obwohl dies nicht alle existierenden pythagoreischen Tripel finden wird.

- Was meinst du mit "dies ist der Fall von FLT mit n = 2"? Anby "dies wird nicht alle vorhandenen finden
- Was meinst du mit "dies ist der Fall von FLT mit n = 2"? - Und durch "dies wird nicht alle vorhandenen pythagoräischen Tripel finden" ? Nennen Sie solche Tripel "primitiv", wenn $a,b,c$ haben keinen gemeinsamen Faktor. Wenn $m>n$ sind zwei positive ganze Zahlen mit relativen Primzahlen, also nicht beide ungerade $a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2$ bilden ein primitives pythagoreisches Tripel, und alle primitiven pythagoreischen Tripel werden auf diese Weise erhalten.

Pythagoreische Tripel finden, mit einer Vermutung.

Löffelbrot

Kaffeemath

poetase

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Jaap Scherphuis

Henry Lee

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