Quantenfeldtheorie mit (2,2)-Metrik

Sich in die Raumzeitdimensionen und/oder -signaturen einzumischen, ist normalerweise viel lästiger als das, was den Anschein hat. Bei Wikipedia findet man eine grobe Diskussion, aber als erstes fällt mir ein, dass das Huygens-Prinzip nur in räumlichen Dimensionen größer oder gleich 3 und ungerade gilt.

Nun, was eure 2+2-Raumzeit betrifft, ist die Situation viel schlimmer. Versuchen wir es mit der einfachstmöglichen Feldtheorie, nämlich dem masselosen Skalarfeld. Die Gleichung sollte dann sein

$(-\partial_t^2-\partial_u^2+\partial_x^2+\partial_y^2)\phi=0$,

wobei ich die zusätzliche zeitähnliche Dimension benannt habe$u$. In der üblichen Feldtheorie in 3+1 beginnen wir mit den klassischen Lösungen der Gleichung (in diesem Fall wäre es nur die Wellengleichung), schreiben die allgemeine Lösung als Summe von Fourier-Termen$\sum_k a_k e^{i(kx-\omega t)}$und die Koeffizienten zu Kettenoperatoren "befördern".$\hat{a}_k$und seine Adjunkten.

Was ist mit 2+2? Das sollten wir auch versuchen. Nun, wie in dieser Antwort in unserem mathematischen Gegenstück erklärt, gibt es ein Theorem, das besagt, dass ultrahyperbolische PDEs, wie die, die Sie betrifft, Hadamard nicht gut gestellt sind, was bedeutet, dass die Lösung entweder nicht existiert oder nicht eindeutig oder nicht stabil ist. Ein Verstoß gegen die ersten beiden Bedingungen macht die Fourier-Entwicklung ungültig, und ein Verstoß gegen die Stabilität bedeutet, dass selbst auf klassischer Ebene keine sinnvolle Störungstheorie existiert. Stabilität ist auch ein Problem bezüglich der Anfangsbedingungen. Das Versagen der Hadamard-Wohlgestelltheit impliziert, dass sich die vollständigen Lösungen vollständig von der ursprünglichen unterscheiden, wenn Sie die Randbedingungen um einen kleinen Wert ändern. Damit wird alles an der Physik entkräftet, da es unmöglich macht, mit der endlichen Genauigkeit von Experimenten umzugehen.

Die Existenz für die freien 2 + 2 ist einfach durch die Trennung der Variablen, obwohl ich das Gleiche nicht für die Eindeutigkeit sagen kann, da ich die Vollständigkeit der so erhaltenen Basis weder bewiesen noch bewiesen gesehen habe. Trotzdem würden wir, selbst wenn Eindeutigkeit hergestellt werden könnte, sicherlich die Stabilität verletzen, und dann wären wir nicht in der Lage, die Störungstheorie wie üblich durchzuführen.

Das sind die Gründe, warum es keinen Sinn macht, 2+2 Raumzeiten zu betrachten, sei es auch nur aus mathematischer Sicht.