Quantenmechanik – wie kann die Energie komplex sein?

In Abschnitt 134 von Vol. 3 (Quantenmechanik) machen Landau und Lifshitz den Energiekomplex, um ein Teilchen zu beschreiben, das zerfallen kann:

E = E 0 − 1 2 ich Γ .

Der Verbreiter U ( t ) = exp ⁡ ( − ich H t ) dann lässt die Wellenfunktion exponentiell mit der Zeit sterben. Aber auch, H ist nicht-hermitesch.

Meine Frage: Müssen wir die grundlegenden Postulate der Quantenmechanik (wie sie beispielsweise von Shankar oder den früheren Abschnitten von Landau & Lifshitz beschrieben wurden) modifizieren, um instabile Teilchen zu beschreiben?

Antworten (3)

Wir müssen die Grundgesetze der Quantenmechanik nicht modifizieren, um instabile Teilchen zu beschreiben. Der vollständige Zustand des Systems beinhaltet den Zustand der Zerfallsprodukte, und was Sie wirklich haben, ist eine Kopplung von einem Zustand zum anderen. Um dies zu beschreiben, sind keine imaginären Energien erforderlich, aber Sie müssen die Zustände der Zerfallsprodukte in Ihre Berechnung einbeziehen.

Diese Kopplung ist symmetrisch (und die gesamte Hamilton-Funktion ist daher immer noch hermitesch). Dennoch ist es häufig unwahrscheinlich, dass die Zerfallsprodukte das ursprüngliche Teilchen wieder bilden, da die Zerfallsprodukte normalerweise aus mehr als einem Teilchen bestehen. Das bedeutet, dass die Entropie der Produkte größer ist als die Entropie des ursprünglichen Teilchens. Es ist unwahrscheinlich, dass diese Entropie abnimmt, daher geht der Teil des Quantenzustands, der den Produkten entspricht, gewissermaßen "verloren".

Neben dem größeren Zustandsraum haben die Produkte weniger Ruhemasse als das Ausgangsteilchen, was bedeutet, dass sie mehr kinetische Energie haben müssen, um Energie zu erhalten. Dadurch fliegen die Produktpartikel weit weg von ihrem Entstehungsort und voneinander; Es ist unwahrscheinlich, dass sie sich rekombinieren, wenn sie durch eine große Entfernung getrennt sind.

Was Landau beschreibt, ist ein Trick, um bestimmte Observablen zu berechnen, ohne die Dynamik der Zerfallsprodukte einzubeziehen. Der Imaginärteil des Hamilton-Operators lässt die Wellenfunktion auf ähnliche Weise zerfallen wie eine Einwegkopplung in einen anderen Zustand. Da es viel mehr mögliche Produktzustände gibt, ist jeder von ihnen fast leer, und dies ist eine vernünftige Annäherung.

Hallo Dan, danke für deine Antwort. Wenn ich Sie richtig verstehe, erfordert eine angemessene Behandlung instabiler Teilchen Thermodynamik. Wenn wir Entropieüberlegungen ignorieren würden, würde die Hamiltonsche Zeitentwicklung den Zerfall machen EIN → B 1 ⋯ B N genauso wahrscheinlich wie B 1 ⋯ B N → EIN . Kennen Sie zufällig eine gute Referenz, die dies im Detail tut?
@ user22037: Es erfordert keine Thermodynamik an sich. Das "Entropie"-Bit ist nur die Größe des Zustandsraums der Produkte und beinhaltet die Tendenz dieser Produkte, viel kinetische Energie zu haben, die sie vom Elternteilchen wegstößt.
@ user22037: Eine wirklich ordnungsgemäße Behandlung instabiler Partikel erfordert die Einbeziehung des Zustands der Produkte. Das ist normalerweise sehr schwierig und enthält auch viele Dinge, die Sie nicht unbedingt interessieren. Die thermodynamischen und kinetischen Erklärungen sind das, was man verwenden würde, um zu rechtfertigen, dies zu vernachlässigen.
Danke noch einmal. Also, wenn die Interaktion den Übergang beschreibt EIN ↔ B 1 ⋯ B n lokal (oder kurzreichweitig) im Raum ist, dann die Zerfallsprodukte B k normalerweise zu weit voneinander entfernt, um sich zu rekombinieren. Mir ist klar, dass es wahrscheinlich schwierig ist, dies im Detail zu tun, aber gibt es vielleicht ein Spielzeugmodell, bei dem es genau oder fast genau gemacht werden kann? Das würde mir helfen zu verstehen. Würde mich über Anregungen freuen.
@ user22037: Ich kenne keine Spielzeugmodelle, die von Hand gemacht werden können. Vielleicht möchten Sie das als eine andere Frage stellen.

Ich denke, es kann auch fruchtbar sein, den Hamilton-Operator nicht als die Energie zu betrachten. Der Hamilton-Operator ist der Generator von Zeitübersetzungen, und daher sagt Ihnen ein Eigenwert des Hamilton-Operators, der komplex ist, dass es einen gewissen Zerfall gibt, wie Edoot darauf hingewiesen hat. Dies ist eine wichtige Unterscheidung. Wenn wir das "Energiespektrum" eines Hamilton-Operators berechnen, berechnen wir eigentlich das Frequenzspektrum der zeitlichen Entwicklung des Systems.

Eine der besseren Diskussionen, die ich darüber gesehen habe, WIE Sie diese effektiven Hamiltonianer erhalten, indem Sie sie direkt berechnen, ist in Wens Quantenfeldtheorie der Vielkörpersysteme. In einem der ersten Kapitel spricht er von einer "Quanten-RLC-Schaltung". Das Buch ist ein Erfolg oder Misserfolg, aber ich denke, diese Diskussion ist klar und ein gutes Beispiel für effektive Feldtheorien.

Hallo Webb, danke für deine Antwort. Ich sehe, ich hätte vorsichtig sein sollen, wie ich meine Frage formuliert habe: Was mich wirklich störte, war die Tatsache, dass der Hamilton-Operator komplexe Eigenwerte hatte. Ich verstehe "das Frequenzspektrum der Zeitentwicklung", aber ich verstehe nicht, wie man komplexe Frequenzen mit der Anforderung in Einklang bringt H Hermitesch sein. Danke für den Hinweis, ich werde nachsehen, ob es jemals in meine Universitätsbibliothek zurückkehrt.
Effektive Feldtheorien opfern die Hermitizität, um einen Freiheitsgrad loszuwerden. Dies ist wie das Hinzufügen eines Dämpfungsterms zu Hamiltons Gleichungen in der klassischen Mechanik, der die Symplektik verletzt. Ich wünschte, ich hätte ein gutes Beispiel dafür, aber das habe ich nicht.
Sehr interessante Analogie, danke. Also wenn H ist nicht-hermitesch in einer effektiven Feldtheorie, die den Teilchenzerfall beschreibt, sind die Imaginärteile der Eigenwerte mögliche Messergebnisse? Wäre wirklich dankbar, wenn Sie andere Referenzen kennen, die dies ausführlich diskutieren, da Wens Buch aus meiner Universitätsbibliothek ausgeliehen ist und ich nicht weiß, wann es zurückkommt.
Eine andere Referenz habe ich leider nicht. Experimentell manifestiert sich der komplexe Teil einer Resonanz beispielsweise bei Hochenergie-Detektormessungen als eine Linienbreite aufweisend. Wenn Sie also eine Lorentz-Verteilung um eine Resonanzspitze von messen ω 0 In einigen Experimenten wird die Breite durch die Abklingzeit bestimmt.
Es gibt auch einen komplexen Energiebegriff für das Higgs-Feld, der Ihnen sagt, dass der Anfangszustand instabil ist und in einen von zwei stabilen Zuständen zerfällt. Dieses 'Tachyon-Feld' mit dem komplexen Begriff wird nicht genau als real angesehen, oder? Ist es so?

Wir brauchen keine modifizierten Postulate.

E = E 0 − 1 2 ich Γ beschreibt das System nur teilweise. x Teilchen verschwinden, und j Partikel erscheint (ein oder mehrere).

Anfänglich: E x = E 0 und E j = 0

Endlich: E x = 0 und E j = E 0

Hinzufügen − 1 2 ich Γ weil wir einen Zerfall brauchen:

exp ⁡ ( − ich H t ) = exp ⁡ ( − ich E 0 t ) exp ⁡ ( − 1 2 Γ t )

exp ⁡ ( − 1 2 Γ t ) → 0 schnell = Teilchen verschwinden.

Hallo Edoot, danke für deine Antwort. ich verstehe das − 1 2 ich Γ macht ψ → 0 . Was ich nicht verstehe, ist, wie man dies mit einem Hermitianer verstehen kann H . Der Begriff − 1 2 ich Γ macht H nicht-hermitesch, in Verletzung der Postulate.
Quantenmechanik – wie kann die Energie komplex sein?
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