Quantenzustände als Strahlen im Gegensatz zu Vektoren

Ein solcher Zustandsvektor hat keine besonders interessante neue physikalische Bedeutung. Wie Sie bereits gesagt haben, stellt es genau denselben physikalischen Zustand dar . Der einzige Unterschied besteht darin, dass der neue Zustand beim Quadratisieren des Moduls eine nicht normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung über mögliche Messergebnisse ergibt. Sie können leicht die Wahrscheinlichkeit extrahieren, ein Messergebnis zu erhalten, das dem (möglicherweise nicht normalisierten) Zustand entspricht$|\phi\rangle$aus einem nicht normalisierten Zustand$|\psi\rangle$mit der Born-Regel:

$$\mathrm{Pr}(\phi) = \frac{|\langle \phi | \psi \rangle |^2}{\langle \phi | \phi \rangle \langle \psi | \psi \rangle }.$$ Die Verwendung normalisierter Zustände ist eindeutig nur eine praktische Konvention, die jegliche Sorgen über die Berechnung des obigen Nenners vermeidet. Es ist nichts Falsches daran, die Quantenmechanik zu formulieren, ohne Zustandsvektoren auf Eins zu normieren. Tatsächlich vermeiden es die meisten Menschen, sich mit den allgemeinen Normalisierungsfaktoren herumzuärgern, bis sie ganz am Ende der Berechnung benötigt werden, da sie die Mathematik nur unansehnlich durcheinander bringen und keine physikalische Bedeutung haben.

Lassen Sie mich zunächst eine endliche Ebene betrachten$N$-dimensionales System, dessen reine Zustände sind$N$dimensionale Vektoren. Alle quantenmechanischen Ergebnisse können äquivalent erhalten werden, indem normalisierte Zustandsvektoren betrachtet werden, die die Einheit überspannen$2N-1$-Sphäre oder der Zustandsraum von Strahlen, die die überspannen$N-1$dimensionaler komplexer projektiver Raum $CP^{N-1}$. In vielen Aspekten ist die zweite Option (Strahlen) jedoch einfacher und natürlicher (auch wenn sie nicht in einführenden Quantenmechanikkursen gelehrt wird), da der komplexe projektive Raum eine komplexe Mannigfaltigkeit ist und das komplexe Feld algebraisch geschlossen ist. Durch die Arbeit mit Strahlen stehen uns also die mächtigen Werkzeuge der komplexen Analyse und Geometrie zur Verfügung.

Darüber hinaus ist der komplexe projektive Raum eine symplektische Mannigfaltigkeit, was die Konzepte der Quantisierung und des klassischen Quantenübergangs natürlicher macht. Somit hat im Strahlenbild jedes Quantensystem ein natürliches klassisches Gegenstück (eine symplektische Mannigfaltigkeit), das im realen Bild nicht einfach zu beschreiben ist.

Ein prominentes Beispiel ist der Spin, der im ersten (realen) Bild klassisch nicht leicht zu beschreiben ist, während er im komplexen Bild eine sehr einfache Beschreibung als System mit der zweidimensionalen Kugel als Phasenraum hat, siehe zum Beispiel Abschnitt über die Quantisierung von$S^2=CP^1$in der folgenden Arbeit von Vathsan. Diese Quantisierung lässt sich auf komplexere Systeme verallgemeinern, in denen die komplexe Bildbehandlung günstiger ist, siehe beispielsweise die folgende Arbeit von Borthwick.

Die Quantisierung im komplexen Bild ist besonders günstig, wenn der Phasenraum eine Kähler-Struktur besitzt . Kähler-Mannigfaltigkeiten wurden für viele sehr moderne Behandlungen in der Physik relevant, zum Beispiel sind viele Modulräume wie (Calabi-Yau-Räume) Kähler, siehe diese Rezension von Martin Schlichenmaier. Kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten beschreiben die klassische Mechanik interner Freiheitsgrade (wieder den Spin-Fall verallgemeinernd).

Die Kähler-Quantisierung funktioniert auch, wenn die Anzahl der Zustände unendlich wird, wie im Fall des harmonischen Oszillators. In diesem Fall wird der Quantisierungsraum zum Bargmann-Raum, siehe Abschnitt 3.1 in der folgenden Übersicht von Todorov.

Die Kähler-Quantisierung wurde auch verwendet, um unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten zu quantisieren, die in der Quantenfeldtheorie und der Stringtheorie relevant sind. Eines der bekanntesten Beispiele ist die Kähler-Quantisierung von$Diff(S^1)/S^1$von Bowick und Rajeev