Raumdiagonalen eines Dodekaeders

Sie haben tatsächlich den größten Teil des Weges zurückgelegt, um die kurzen Raumdiagonalen zu erhalten. Sei A eine beliebige Ecke des regulären Dodekaeders und B die gegenüberliegende Ecke. Wenn C irgendein anderer Knoten ist, dann$\triangle ABC$ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C, weil alle Ecken in einer Kugel mit Durchmesser liegen$\overline{AB}$. Wenn wir also C wählen$\overline{AC}$ist eine Seitendiagonale, deren Länge ist$a\phi$(Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge$a$), und wenn wir verwenden$a\sqrt{1+\phi^4}$als Länge der Hypotenuse bleibt uns übrig$a\sqrt{1-\phi^2+\phi^4}$als die Länge der kurzen Raumdiagonalen.

Wenn wir einstecken$\phi^2=1+\phi$Und$\phi^4=2+3\phi$(Ruf an Fibonacci) stellen wir fest, dass tatsächlich die kurzen Raumdiagonalen messen$a\phi\sqrt2$und die langen vereinfachen sich zu$a\phi\sqrt3$, die Verhältnisse scheinen, als hätten wir es mit Quadraten und Würfeln zu tun, anstatt mit Fünfecken und Dodekaedern. Was gibt?

Die Flächendiagonalen eines regelmäßigen Dodekaeders haben die Eigenschaft, dass Sie, wenn Sie eine von jeder der zwölf Flächen auf die richtige Weise auswählen, die Kanten eines Würfels definieren (siehe die Zeichnung in der Antwort von heropup ) . Dann sind Ihre kurzen Raumdiagonalen des Dodekaeders Seitendiagonalen der Würfel, deren Kanten jeweils messen$a\phi$, und die langen Raumdiagonalen des Dodekaeders sind Raumdiagonalen der Würfel.

Ein regelmäßiger Dodekaeder kann eingefügt werden$\mathbb R^3$so dass die Ecken sind

$$(\pm 1, 0, \pm \phi^2),$$ ihre kreisförmigen Permutationen$(0, \pm \phi^2, \pm 1), (\pm \phi^2, \pm 1, 0)$, und der beschriftete Würfel$(\pm \phi, \pm \phi, \pm \phi)$, Wo$\phi = (1 + \sqrt{5})/2$ist der Goldene Schnitt. Der Umkreisradius ist also$\phi \sqrt{3}$, und die dodekaedrische Kantenlänge ist einfach$2$. Dann haben die Flächendiagonalen eine Länge, die gleich der Kantenlänge des Würfels ist, was ist$2\phi$, die kürzeste Innendiagonale zwischen zwei Eckpunkten ist beispielsweise der Abstand zwischen$(-1, 0, \phi^2)$Und$(\phi^2, 1, 0)$, welches ist$2 \sqrt{3 + \sqrt{5}}$. Alternativ kann es auch einfach berechnet werden$\sqrt{2}$mal die Länge der Würfelkante, dh$2 \sqrt{2} \phi$. Es ist einfach, alle inneren Diagonallängen zu berechnen und diese durch die Kantenlänge zu normieren, die ich als Übung belasse.

Ich habe keine Zeit, ein eigenes Diagramm zu erstellen, also habe ich eines aus dem Internet gezogen . Diese Konstruktion des regelmäßigen Dodekaeders geht mindestens auf die Zeit von Euklid zurück, wie sie in den Elementen erscheint .

Das Verhältnis der Kantenlänge des Würfels zur Kantenlänge des Dodeachedrons ist$\phi$.