Regularisierung des Casimir-Effekts

Schauen Sie sich hier Terry Taos brillanten Beitrag zur Regularisierung von Zeta-Funktionen an (ich habe das Thema nie verstanden, bis ich diesen Beitrag gelesen habe). Die kurze Antwort ist, dass sie alle dasselbe berechnen, die (geeignet definierte) Asymptotik der divergenten Summe.

Obwohl ich nicht weiß, ob es einen allgemeinen Beweis gibt, denke ich, dass der Casimir-Effekt einer renormierbaren Quantenfeldtheorie vollständig durch eine Theorie der Renormierung auf Mannigfaltigkeiten mit Rand verstanden werden sollte. Das wesentliche Merkmal ist, dass man die Renormierung der Kopplungskonstanten in den Randtermen im Allgemeinen nicht vernachlässigen kann. Unter Verwendung dieser Strategie beobachteten Bondag und Vassilevich , dass die Renormierung des Oberflächenspannungsterms (die vollständige Aktion einschließlich der Oberflächenterme ist in Gleichung 44 angegeben) einen Gegenterm liefert, der einen divergierenden Term in der Casimir-Energie einer dielektrischen Kugel aufhebt, der nicht aufgehoben werden kann durch die Nullpunktenergiesubtraktion (wie von den gleichen Autoren zusammen mit Kirsten in einer früheren Arbeit hervorgehoben wurde). In der späteren Arbeit verifizierten die Autoren, dass das Modell einschließlich der Oberflächenterme in einer Schleife renormierbar ist.

(Dieses Argument gilt für ein eindimensionales System, aber ähnliche Argumente können in höheren Dimensionen angegeben werden. Wir arbeiten in Einheiten mit$c = \hbar = e = 1$).

Angenommen, wir haben eine Reglerprozedur, die durch eine Impulsabschaltung parametrisiert ist$\Lambda$. Dann auf Distanz$L$zwischen zwei parallelen Platten können wir die regularisierte Energiesumme in Potenzen des Cutoffs erweitern als

Dies zeigt, dass (in der Grenze des großen Cutoffs, so dass die$O(1/\Lambda)$Begriffe verschwinden) kommt die Kraft allein aus$c_L$, die tatsächlich unabhängig vom Cutoff ist! Man möchte hoffen, dass der Begriff tatsächlich unabhängig von allen Details der Regulierungsbehörde ist; Der Beitrag von Terence Tao (auf den bereits in Aarons Antwort verwiesen wird) beweist dies in einem Sonderfall, dh dem freien masselosen Boson.

Die gleiche Frage haben Sie sich vielleicht bei jeder Berechnung in der Quantenmechanik gestellt: Warum liefern unterschiedliche Regulatoren für formal divergierende Größen das gleiche Ergebnis? Die Antwort ist, dass unter der Annahme, dass diese Regler wichtige Symmetrien, die unsere Messungen beeinflussen (wie zum Beispiel die Lorentz-Invarianz), nicht brechen, die Regler nur die Physik im UV durcheinander bringen und die IR-Physik gleich lassen. Wenn wir uns für Niedrigenergiephysik interessieren, dann werden verschiedene Regler alle die Größen, an denen wir interessiert sind, unberührt lassen und nur irrelevante Hochenergiedetails modifizieren. Das ist kein Wunder! Siehe auch die Diskussion in: Welche Renormierungstechniken sind für 3+1 QED verfügbar?

In Casimirs Originalarbeit stellte er eine Ableitung vor, die zeigt, dass jede "vernünftige" Wahl des Reglers dasselbe Ergebnis liefern wird. Dies ist im Wesentlichen das, was Terry Tao in seinem Blogbeitrag durchführt, aber sein Beitrag ist ziemlich detailliert und vielleicht könnte eine besser verdauliche Präsentation nützlich sein! Es geht so:

In einer eindimensionalen Box werden die Frequenzen zu denen ebener Wellen quantisiert,$\omega_n=\tfrac{\pi}{\ell}n$wo$\ell$ist die Größe der Kiste. Lassen Sie uns dann definieren

Stellen wir uns nun vor, wir hätten ein Paar Orte, die in einer Entfernung voneinander getrennt sind$a$, in einer größeren Schachtel der Größe$L$, unten gezeigt$^1$:

Wenn wir gehen$L$fest und variieren$a$, die Kraft auf die Wände unserer Platten in der Ferne$a$ist$-dE/da$. Die Energie der$L-a$Seite der Box ist

und wenn wir die Kontinuumsgrenze nehmen$L\rightarrow\infty$, wir bekommen

Okay, jetzt kümmern wir uns nur um die Teile dieses Ausdrucks, die davon abhängen$a$, da wir in Bezug auf differenzieren werden$a$. Isolieren Sie diese Begriffe,

Nun ist es den Menschen oft ein Rätsel, warum zB esoterische Manipulationen wie die Zeta-Regularisierung die richtige Antwort geben. Das obige Argument entmystifiziert, warum gute Regler gute Regler sind: Sie können die Differenz zwischen der tatsächlichen Summe, die zu einem Cutoff summiert wird, und der Zeta-Summe (oder welcher Summe auch immer - Wärmekernsumme vielleicht) mit Euler-Maclaurin erweitern und zeigen, dass es eine Universalität gibt Stück, das von der Wahl des Abschnitts nicht berührt wird. Schlimmes kann nur passieren, wenn die Regulatoren Symmetrien brechen.

Sie befürchten, dass dies bei unterschiedlichen Geometrien oder Abmessungen nicht funktioniert - aber es funktioniert! Solange der Regler die Symmetrie der Geometrie nicht bricht, ist alles in Ordnung. Es ist nicht klar, was Ihr$2d$Das skalare Beispiel, an das Sie denken, ist, aber wenn es sich um ein Problem vom Typ Casimir handelt, hängt der unendliche Teil sicherlich nicht von der Plattentrennung ab, also geht es uns gut. Eine frühere und interessante Antwort weist darauf hin, dass der Regler manchmal mehr tun muss, als nur "die Nullpunktenergie abzuziehen", wenn die Platten eine seltsame Grenze haben. Unter dem Strich müssen Sie jedoch nur in gewisser Weise mit der UV-Physik herumspielen die die Symmetrien der Grenze respektiert.

$^1$_{Bild (und Ableitung) schamlos aus dem QFT-Lehrbuch von Matt Schwartz gestohlen.}

Größen, die wir im Labor messen können, sind endlich. Wir haben mathematische Modelle, die bei naiver Anwendung unendliche Werte für messbare Größen liefern. Betrachten Sie diese Artefakte mit unendlichen Werten des spezifischen mathematischen Modells/Werkzeugs/der Berechnungsmethode. Wenn man Wege identifizieren kann, in denen eine bestimmte Art von Unendlichkeit in einem mathematischen Modell / einer mathematischen Methode konsistent auftritt, kann man sie verfolgen und auf konsistente Weise "subtrahieren, wenn sie ausgeschaltet ist" (dh sie renormieren).

Wenn für eine bestimmte Art des Rechnens Unendlichkeiten auf willkürliche Weise entstehen ... dann gibt es keine Möglichkeit, sie auf mathematisch konsistente Weise zu entfernen, und Sie hören nichts von dieser bestimmten Art und Weise.