Relativgeschwindigkeitsproblem

Sie müssen zwischen der Entfernung, die der Mann relativ zum Wasser um ihn herum schwimmt, und der Gesamtentfernung, die der Mann relativ zu einem Beobachter am Flussufer zurücklegt, unterscheiden. Die Gesamtdistanz relativ zu einem Beobachter am Flussufer ist die Distanz, die der Mann relativ zum ihn umgebenden Wasser schwimmt, kombiniert mit der Distanz, die sich das Wasser relativ zum Ufer bewegt. Wenn der Mann in einer geraden Linie schwimmt, ist die Gesamtstrecke die Vektorsumme der beiden Distanzen (das Leben wird komplizierter, wenn der Mann nicht in einer geraden Linie schwimmt).

Wenn Sie versuchen, die Überfahrtszeit zu minimieren, und es Ihnen egal ist, wo Sie am anderen Ufer auftauchen, müssen Sie die Entfernung minimieren, die der Mann schwimmt, da die Zeit diese Entfernung geteilt durch die Schwimmgeschwindigkeit ist. Dies geschieht durch Schwimmen in einer Richtung senkrecht zum Ufer.

Sie können andere Kriterien haben. Beispielsweise möchten Sie möglicherweise die zurückgelegte Gesamtstrecke minimieren. Um dies zu erreichen, müsste der Mann in einem anderen Winkel schwimmen, der von der Geschwindigkeit des Flusses abhängt.

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Das Diagramm unten zeigt, was passiert, wenn der Mann über den Fluss schwimmt,

Ich habe den schwimmenden Mann in einem beliebigen Winkel gezeichnet$\theta$mit einer Geschwindigkeit$v$. Der Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit$V$, und die Zeit, die der Mann zum Überqueren benötigt, ist$t$. Die Distanz, die der Mann geschwommen ist, ist$d_m$und die Entfernung, die das Wasser bewegt, ist$d_r$.

Der entscheidende Punkt ist, dass die Geschwindigkeit, mit der der Fluss fließt, beeinflusst, wo der Mann auf der anderen Seite des Flusses auftaucht, aber es hat keinen Einfluss auf die Zeit zum Überqueren. Die Zeit zum Überqueren ist einfach die geschwommene Distanz,$d_m$, dividiert durch die Schwimmgeschwindigkeit,$v$:

$$t = \frac{d_m}{v}$$

und durch Trigonometrie wird die Entfernung, die der Mann schwimmt, mit dem Winkel in Beziehung gesetzt$\theta$von:

$$d_m = \frac{W}{\sin\theta}$$

So:

$$t = \frac{W}{v \sin\theta}$$

Beide$W$Und$v$sind Konstanten, um also die Zeit zu minimieren, die Sie zum Maximieren benötigen$\sin\theta$, und der maximale Wert von$\sin\theta$ist 1 wenn$\theta$= 90º dh senkrecht zum Ufer.

Antwort auf Antwort auf Kommentar:

Wenn wir nehmen$x$die Richtung entlang des Flusses zu sein und$y$die Richtung darüber, die Zeit, die zum Überqueren benötigt wird, ist nur:

$$t = \frac{w}{U_y}$$

Wo$U$ist die Gesamtgeschwindigkeit und$U_y$ist es$y$Komponente. Weil$U$ist die Vektorsumme von$v$Und$V$, es ist$y$Komponente ist einfach:

$$U_y = v_y + V_y$$

Aber der Fluss fließt in die$x$Richtung dh$V_y$ist Null, und daher$U_y$=$v_y$dh die$y$Komponente der Gesamtgeschwindigkeit hängt nur nur von der Schwimmgeschwindigkeit des Mannes und nicht von der Flussgeschwindigkeit ab. Aus diesem Grund hat die Flussgeschwindigkeit keinen Einfluss auf die Zeit zum Überqueren.