Renormierung in der Stringtheorie

Hier gibt es zwei getrennte Probleme:

Weltblatt versus Raumzeit :

Die Stringtheorie ist eine Verallgemeinerung der Quantenfeldtheorie, aber die perturbative Stringtheorie ist in einer Sprache formuliert, die älter als QFT ist. Bei Schwingers Eigenzeitmethode oder „erster“ Quantisierung konstruieren Sie eine Freifeldtheorie, indem Sie Partikelbahnen (Weltlinien) mit einer geeigneten Aktion summieren. Diese Summierung ist ein Pfadintegral, das formal eine „Quantisierung“ der Weltlinientheorie ist. Sie beziehen dann Wechselwirkungen perturbativ ein, indem Sie die Weltlinien dieser Teilchen dazu bringen, kompliziertere Graphen zu bilden, die nichts anderes sind als die Feynman-Graphen der entsprechenden Feldtheorie. Dies ist ein besonders umständlicher Weg, um die übliche QFT-Störungstheorie zu erhalten. In dieser etwas verwirrenden Sprache ist die Bestellung in$\hbar$ist durch die Topologie des Graphen gegeben und hat nichts mit dem Prozess der „Quantisierung“ der Weltlinientheorie zu tun.

(Leider neigen Physiker dazu, den Prozess des Lösens einer beliebigen Differentialgleichung perturbativ „Quantisierung“ zu nennen, auch wenn es nichts mit QM, dem Lösen der Schrödinger-Gleichung für die Zeitabhängigkeit von Wahrscheinlichkeitsamplituden oder so etwas zu tun hat. Schlechte Terminologie ist etwas man muss sich an dieses Geschäft gewöhnen.)

Bei der Verallgemeinerung zur Stringtheorie haben wir kein Äquivalent zur „zweiten“ quantisierten Feldtheorie. Stattdessen verallgemeinern wir Weltlinien zu Weltschichten, mit anderen Worten, zeigen Teilchen zu Strings. Die Summe über topologisch triviale Weltblätter ergibt klassische, oder freie (d.h. führende Ordnung in$\hbar$) Stringtheorie und Quantenkorrekturen (oder Wechselwirkungen) stammen aus der Einbeziehung von Weltblättern mit komplizierterer Topologie. Beim Studium der String-Störungstheorie ist es wichtig, Raumzeit und Arbeitsblatt nicht zu verwechseln.

Um eine freie Stringtheorie zu erhalten, müssen Sie „zuerst“ eine zweidimensionale Feldtheorie quantisieren, was Ihnen die stringente Verallgemeinerung einer freien Feldtheorie (mit unendlich vielen Feldern) liefert. Die freie zweidimensionale Feldtheorie (entsprechend Strings in der flachen Raumzeit) ist kompliziert genug, um eine einfache Art der Renormierung zu erfordern (zB normale Ordnung oder Polchinskis „konforme“ normale Ordnung). Kompliziertere Worldsheet-Theorien (die Strings in gekrümmter Raumzeit entsprechen) erfordern eine vollwertige Renormalisierung, die normalerweise auch in der Worldsheet-Theorie perturbativ durchgeführt wird. Beachten Sie, dass in diesem Fall der Dehnungsparameter die Saitenspannung ist, die nichts damit zu tun hat$\hbar$, da Sie immer noch klassische Strings betrachten, die in gekrümmter Raumzeit so kompliziert sind, dass sie normalerweise nur perturbativ lösbar sind$\alpha’$.

Die von Ihnen festgestellte Mehrdeutigkeit (z. B. die normale Ordnungskonstante) ist der Renormierung inhärent, und normalerweise müssen zusätzliche physikalische Einschränkungen auferlegt werden, um diese Konstanten zu beheben. In diesem Fall wird die Mehrdeutigkeit (wenn dies möglich ist, z. B. mit der richtigen kritischen Dimension) durch die Anforderung behoben, die Symmetrien von Weyl und die Diffeomorphismus-Invarianz des Weltblatts zu bewahren. Diese Symmetrien sind entscheidend für die Raumzeitinterpretation der Weltblatttheorie. Es stellt sich heraus, dass Raumzeitkonsistenzbedingungen (Fehlen negativer Normzustände) implizieren, dass die zweidimensionale Feldtheorie konform sein muss (oder Weyl-invariant, wenn sie auf einem gekrümmten Weltblatt formuliert wird).

Renormalisierung in der Raumzeit

Wie der erste Teil andeutet, ist dies für diese Diskussion nicht wirklich relevant. Trotzdem möchte ich anmerken, dass die Renormierung nichts mit der Kurzdistanzstruktur der Theorie zu tun hat. Das moderne Verständnis ist, dass es effizient ist, QFT-Berechnungen nach Längen- (oder Impuls-) Skala zu organisieren, und dass Renormalisierung der technische Weg ist, dies zu erreichen. Beispielsweise möchten Sie Ihre Theorie renormieren, um Berechnungen zu erleichtern, selbst wenn sie UV-endlich ist. Darüber hinaus sollte wahrscheinlich ein zweites Semester QFT dies klären.

Lassen Sie mich zunächst sagen, dass es nichts mit Renormalisierung wie in "Renormalization Group" zu tun hat. Das Problem ist viel einfacher und betrifft die Quantisierung einer klassischen Theorie.

Wann immer Sie eine Theorie quantisieren, wird die Karte$quantization:\{\text{classical observables}\}\rightarrow\{\text{quantum observables}\}$ist schlecht definiert. Andererseits ist die Karte in die andere Richtung gut definiert (wenn Sie den Überblick behalten$\hbar$), und eine Quantisierung besteht darin, eine Quantenobservable (dh ein Urbild der letzteren Karte) für die interessierende klassische Observable auszuwählen.

Das Problem, das Sie erwähnen, liegt in der Definition des Quantums$L_0$. Klassisch ist es

Lassen Sie uns nun eine der möglichen Quantisierungen finden. Das ist (wieder)

Beachten Sie, dass die zweite Summe insgeheim endlich ist (deshalb mögen wir die Normalordnung): Alle unsere Zustände haben eine endliche Anzahl von Teilchen, also ist der Operator wohldefiniert. Unterschiedliche Urbilder entsprechen unterschiedlichen Auswahlmöglichkeiten der Operator-Ordnung, sodass wir uns verschieben können$L_0\rightarrow L_0-a$für einige (endlich)$a$. Wenn Sie den Überblick behalten möchten$\hbar$($\alpha'$), dann ist der relevante Operator$L_0-\alpha' a$(evtl. mit Faktor 2 je nach Normierung).

Schließlich möchten Sie, dass Ihre Quantentheorie schön (geisterfrei) ist, was einige Einschränkungen mit sich bringt$a$und die Abmessung.

Bearbeiten: Wie Moshe betont, habe ich meine$\hbar$und$\alpha'$falsch. Der richtige Quantisierungsparameter ist hier$\alpha'$. Siehe seine Antwort für die Unterscheidung.