Renormierung und kanonische Vertauschungsbeziehungen

Question

Renormierung und kanonische Vertauschungsbeziehungen

Blazej

Meine Frage ist, ob kanonische Kommutierungsbeziehungen für renormierte Quantenfelder gelten. Unten zeige ich Argumente, die durch Zweifel verursacht wurden.

Betrachten Sie eine relativistische skalare QFT. Wir haben eine spektrale Zerlegung der Zweipunktfunktion

⟨ Ω | ϕ (x_{1}) ϕ (x_{2}) | Ω ⟩ = \int \frac{d m^{2}}{2 π} ρ (m^{2}) Δ_{+} (x_{1} - x_{2}, m^{2}),

$\langle \Omega | \phi(x_1) \phi(x_2) | \Omega \rangle = \int \frac{\mathrm d m^2}{2 \pi} \rho(m^2) \Delta_+(x_1-x_2,m^2),$ wo

ρ \geq 0

$\rho \geq 0$ heißt spektrale Dichtefunktion und -verteilung

Δ_{+}

$\Delta_+$ ist definiert als

Δ_{+} (x, m^{2}) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3} 2 p^{0}} e^{- ich p x},

$\Delta_+ (x,m^2) = \int \frac{\mathrm d ^3 p}{(2 \pi)^3 2p^0} e^{-ipx},$ mit Integralauswertung über die positive Frequenz (

p^{0} \geq 0

$p^0 \geq 0$ ) Masse-Schale

p^{2} = m^{2}

$p^2=m^2$ . Ich nahm über diesem Feld an

ϕ

$\phi$ hat keinen Vakuumerwartungswert. Nehmen wir die Differenz der ersten Formel mit sich

x_{2}

$x_2$ und

x_{1}

$x_1$ vertauscht, gesetzt

x_{2} = 0

$x_2 = 0$ , Ableitung in Bezug auf

x_{1}^{0}

$x_1^0$ und einstellen

x_{1}^{0} = 0

$x_1^0=0$ wir bekommen den kanonischen Kommutator auf der linken Seite. Durch Vergleich mit der rechten Seite erhält man die Weinberg-Summenregel für die Spektraldichte:

\int \frac{d m^{2}}{2 π} ρ (m^{2}) = 1.

$\int \frac{\mathrm d m^2}{2 \pi} \rho(m^2) = 1.$ Was mich stört, ist, dass der Wert dieses Integrals von den Werten endlicher Teile der Renormierungskonstanten abhängt. Daher ist es nicht vom Renormierungsschema und der Skala unabhängig. Ich habe einige einfache Beispiele überprüft und es stellte sich heraus, dass es möglich ist, diese Beziehung als Renormierungsbedingung durchzusetzen und den Wert der Wellenfunktionsrenormierung festzulegen. Ich glaube jedoch nicht, dass dies normalerweise der Fall ist.

Antworten (2)

Renormierung und kanonische Vertauschungsbeziehungen

JeffDror · Answer 1

Die Vertauschungsbeziehungen für renormierte Felder unterscheiden sich von denen der nackten Felder um Faktoren der Wellenfunktionsrenormierung. Betrachten Sie als Beispiel ein komplexes Skalarfeld, $\phi$ . Die kahlen Felder gehorchen z.

[ϕ (x), ϕ (j)^{†}] = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} e^{ich p \cdot x}

$\left[ \phi (x) , \phi (y) ^\dagger \right] = \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } e ^{ i p \cdot x }$ während die renormierten Felder (

ϕ_{r} \equiv ϕ / \sqrt{Z}

$\phi _r \equiv \phi /\sqrt{ Z}$ ) Folge leisten,

[ϕ_{r} (x), ϕ_{r} (j)^{†}] = Z \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} e^{ich p \cdot x}

$\left[ \phi _r (x) , \phi _r (y ) ^\dagger \right] = Z \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } e ^{ i p \cdot x }$

Sollten wir uns darüber Sorgen machen? Ich glaube nicht. Die wichtige Schlussfolgerung in Bezug auf die Kommutierungsbeziehungen ist, dass sie für raumähnliche Punkte verschwinden, um mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar zu sein. Ansonsten spielen sie hier keine nennenswerte Rolle.

Als Nebenpunkt ist das zeitlich geordnete Produkt von Feldern auch für die nackten und renormierten Felder unterschiedlich. Dies führt zu einer Modifikation des Propagators, wie ich vermute, dass Sie sich bereits bewusst sind.

Ich kann nicht verstehen, warum die renormierten Felder nicht den kanonischen Kommutierungsbeziehungen (CCR) gehorchen, da sich die „Physik“ des Systems ändern wird, wenn wir eine Transformation an einem System vornehmen, das CCRs bricht. Ich denke also, wir sollten die renormalisierten Felder neu skalieren, damit sie wieder CCRs gehorchen.
@PhilosophiaeNaturalis: Die Physik des Systems ändert sich. Renormalisierte Felder und nackte Felder gehorchen nicht denselben Gleichungen. Sie unterscheiden sich durch Faktoren von $Z$ .
Ich habe kein Problem damit, zu akzeptieren, dass CCR nicht gelten muss, wenn wir sie nicht explizit durch Feldneuskalierung erzwingen. Ich bin ein wenig verwirrt darüber, dass dies in Lehrbüchern nie erwähnt wird. Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher, ob es sich um kahle Felder handelt, die CCR erfüllen. Korrelationsfunktionen von renormierten Feldern sind endlich, daher auch die Spektraldichtefunktion. Daher hält CCR bis zu einer endlichen Neuskalierungskonstante. Nackte Felder unterscheiden sich von renormierten Feldern durch unendliche Neuskalierungen, die zum Aufheben von UV-Divergenzen erforderlich sind.
Daraus würde ich schlussfolgern, dass Kommutierungsbeziehungen von nackten Feldern tatsächlich bedeutungslos sind, wenn die Regularisierung weggenommen wird. Dies stimmt mit dem Standpunkt überein, dass nackte Felder (und Renormierungskonstanten) für nicht mehr existieren $\Lambda \to \infty$ . Wir erwarten nur, dass die renormierten Felder eine Annäherung an eine echte, existierende QFT sind.

AccidentalFourierTransform · Answer 2

Das relevante Axiom.

Jeder (kanonische) Körper, renormiert oder nicht, erfüllt per Postulat ,

[ϕ, π] = δ

$[\phi,\pi]=\delta$ wo

π

$\pi$ ist das zu konjugierte Feld

ϕ

$\phi$ . In der Lagrangeschen Feldtheorie

π \overset{d e f}{=} \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}}

$\pi\overset{\mathrm{def}}=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot\phi}$

Fall 1.

Wenn $\phi$ ist ein nicht normalisiertes Feld,

L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}_{u n}^{2} + \dots

$\mathcal L=\frac12\dot\phi^2_{\mathrm{un}}+\cdots$ dann

[ϕ_{u n}, {\dot{ϕ}}_{u n}] = δ

$[\phi_{\mathrm{un}},\dot\phi_{\mathrm{un}}]=\delta$

Fall 2.

Andererseits, wenn $\phi$ ist ein renormiertes Feld,

L = \frac{1}{2} Z {\dot{ϕ}}_{r e}^{2} + \dots

$\mathcal L=\frac12Z\dot\phi^2_{\mathrm{re}}+\cdots$ dann

[ϕ_{r e}, Z {\dot{ϕ}}_{r e}] = δ

$[\phi_{\mathrm{re}},Z\dot\phi_{\mathrm{re}}]=\delta$

Das Fazit.

Zusammenfassend sind die kanonischen Kommutatoren, wenn sie als (kanonische) Phasenraumvariablen ausgedrückt werden, unabhängig von der Normalisierung der Felder . Wenn sie beispielsweise in Form von Konfigurationsraumvariablen ausgedrückt werden, hängen sie von der Normalisierung der Felder ab.

Beachten Sie auch: Die im OP zitierte Weinberg-Summenregel wird normalerweise in einem On-Shell-Normalisierungsschema abgeleitet (und kann im Wesentlichen zur Definition eines solchen Schemas verwendet werden). In anderen Schemata bleibt die Summenregel offensichtlich gültig, nachdem die erforderlichen Faktoren eingeführt wurden $Z$ .
Wie im Kommentar zur vorherigen Antwort erläutert, bin ich mir nicht sicher, ob diese Antwort vollständig richtig ist. Sie behaupten, dass nackte Felder CCR (ohne zusätzliche Z-Faktoren) erfüllen und dass renormalisierte Felder in einem bestimmten Schema die Weinberg-Summenregel erfüllen. Ich glaube, diese Aussagen sind widersprüchlich, weil diese Felder durch divergierende Neuskalierung zusammenhängen. Möglicherweise übersehe ich hier einen grundlegenden Punkt.
Wenn $\phi$ (renormiert oder nicht) erfüllt $\langle\phi\phi\rangle\sim \rho$ , dann $\bar\phi\equiv c\phi$ erfüllt $\langle\bar\phi\bar\phi\rangle\sim\bar\rho$ , wo $\bar\rho\equiv c^2\rho$ . Daran ist nichts Widersprüchliches: Die spektrale Dichte eines beliebigen Operators hängt von der Normierung des Operators selbst ab. Wenn $c$ ist divergent, dann entweder $\rho$ oder $\bar\rho$ divergieren (oder vielleicht beide). Das übliche Postulat (das nur für renormierbare Theorien funktioniert) ist, dass renormierte Felder endliche Korrelationsfunktionen (und damit spektrale Dichten) haben.

Renormierung und kanonische Vertauschungsbeziehungen

Blazej

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JeffDror

AlQuemist

JeffDror

Blazej

Blazej

AccidentalFourierTransform

Das relevante Axiom.

Fall 1.

Fall 2.

Das Fazit.

AccidentalFourierTransform

Blazej

AccidentalFourierTransform

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