Richtung der Drehmomentpräzession eines durchdrehenden Rades

Es gibt ein Papier von Svilen Kostov und Daniel Hammer mit dem Titel „ Es muss ein wenig runtergehen, um herumzugehen “, das genau die Frage anspricht, die Sie hier stellen.

Die Idee für das Papier entstand aus einer Diskussion der Kreiselbewegung in den Feynman Lectures on Physics.

Kostov und Hammer diskutieren, dass, wie Sie sagen, die Gravitationskraft das freie Ende der Radachse ein wenig nach unten bewegt. Sie erstellten auch einen experimentellen Aufbau, um den Dip zu demonstrieren. Sie fanden eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie und experimentellem Ergebnis.

Sie haben Recht, wenn Sie feststellen, dass es in der Standardkonfiguration dieses Problems eine oft unausgesprochene Annahme gibt. Bei diesem Problem sollten Sie davon ausgehen, dass die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit außerhalb der Hauptachse einen Beitrag zu L leisten, der im Vergleich zur Winkelgeschwindigkeit auf der Achse vernachlässigbar ist. Offensichtlich ist dies eine gute Annahme, wenn sich der Kreisel schnell genug dreht, aber es ist nicht ganz richtig.

Wenn Sie mit der Anfangsbedingung beginnen, dass die Winkelgeschwindigkeit des Kreisels zum Zeitpunkt des Auslösens vollständig mit seiner Hauptachse übereinstimmt, sollten Sie feststellen, dass sich die Hauptachse des Kreisels nicht wirklich gleichmäßig auf einem Kreis dreht, sondern eine sehr kleine Sinuskurve aufweist Variation um die gleichförmige Kreisbewegung.

Was ich hier auf dem Bild sehe, ist die Formel

$$\tau = I \alpha$$

ist für diese Situation wahrscheinlich nicht anwendbar. Das ist weil$\omega$ist konstant, dh$\alpha = 0$!

Diese Situation ist analog zu einer kreisförmigen Rotation mit konstanter Geschwindigkeit . Da hast du Geschwindigkeit$\vec{v}$, dessen Größe konstant ist, aber seine Richtung ändert sich ständig. Beschleunigung$\vec{a}$ist immer senkrecht zur Geschwindigkeit.

Hier haben Sie Drehimpuls$\vec{L}$, dessen Größe konstant ist, aber seine Richtung ändert sich ständig. Drehmoment$\vec{\tau}$ist immer senkrecht zur Geschwindigkeit.

Das resultierende Moment auf den Körper ist das Moment in x-Richtung aufgrund des Gewichts, daher muss die Änderung des Drehimpulses des Körpers nur in x-Richtung erfolgen, um zu erreichen, dass wir aus Rotationsgleichungen (Euler-Gleichungen) finden, dass der Körper stationär sein muss Präzession ( Nutation =0 , Präzession = konstant , Spinning = konstant ) und das resultierende Moment sollte in diesem Fall (in x-Richtung ) sein:

M = I * Spinning * Präzession = Moment des Gewichts

Der Körper ändert also seine Präzession in einen bestimmten Wert

Der Drehimpuls des Rads aufgrund des Spins ist in radialer Richtung der Radachse,$\vec L=L\hat e_r$

Drehmoment, das durch Abwärtszug des Massenmittelpunkts und senkrecht zur radialen und vertikalen Richtung der Zylinderkoordinaten erzeugt wird,

$$\vec\tau=\vec r\times \vec f_g=-mgr(\hat e_r\times \hat z)=\tau(\hat z\times \hat e_r)$$ Das Drehmoment bewirkt eine Änderung des Drehimpulses des Rades, aber da das Drehmoment senkrecht zum Drehimpuls ist, ändert sich nur die Richtung des Drehimpulses und nicht seine Richtung. So, $$\vec\tau=\dot{\vec L}=L\dot{\hat e_r}\Rightarrow \dot{\hat e_r}=\frac{\tau}{L}(\hat z\times \hat e_r)$$ Jetzt,$\quad \dot{\hat e_r}=\vec \omega_p\times \hat e_r.\quad$Deshalb, $$\vec\omega_p=\frac{\tau}{L}\hat z=\omega_p\hat z$$ $\omega_p$ist die Achse des Geschwindigkeitsrads, die sich in einer kreisförmigen Bewegung in der horizontalen Ebene bewegt und die Richtung der Ebene nach oben oder gegen die Schwerkraft gerichtet ist und als Präzessionswinkelgeschwindigkeit des Rads bezeichnet wird.

Außerdem gibt es am Kontaktende der Radachse ein nach unten gerichtetes Drehmoment$\vec\tau_p=-\tau\hat z$, in Richtung der Schwerkraft, wird aufgrund einer Präzessionsbewegung erzeugt, die in der Größe des Drehmoments gleich ist, das den Drehimpuls des Rads ändert und das freie Ende der Radachse gegen die Schwerkraft nach oben hält. Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit ist konstant$\omega_p=\sqrt g$, sowohl in der Größe als auch in der Richtung. Das Erhöhen oder Verringern des Durchdrehens des Rads ändert also nur das Drehmoment.