Rindler-Fulling-Quantisierung - Erweiterung des Rindler-Modus von ϕϕ\phi: Warum ignorieren wir Vergangenheits- und Zukunftskeile?

Question

Rindler-Fulling-Quantisierung - Erweiterung des Rindler-Modus von ϕϕ\phi: Warum ignorieren wir Vergangenheits- und Zukunftskeile?

Physik
Kausalität
unruh-Effekt
Metrik-Tensor
generelle Relativität
qft-in-der-gekrümmten-raumzeit

Quantum Eyedea

Ich verfolge Kapitel 2 von Takagi's Vacuum Noise and Stress Induced by Uniform Accelerator . Ich bin gerade dabei, die Rindler-Fulling-Quantisierung eines echten Skalarfelds durchzuführen, wo Sie expandieren $\phi$ in Bezug auf die Rindler-Modi in den linken und rechten Keilen - ich bin verwirrt darüber, warum Sie die Beiträge zum Feld in den zukünftigen und vergangenen Keilen vollständig ignorieren. Lassen Sie uns die Dimension 4 konkretisieren.

Der Minkowski-Raum ist in vier Bereiche unterteilt:

Rechter Rindler-Keil: R_{+} = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{1} > | X^{0} |} Linker Rindler-Keil: R_{-} = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{1} < - | X^{0} |} Zukunftskeil: F = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{0} \geq | X^{1} |} Vergangener Keil: P = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{0} \leq - | X^{1} |}

$\text{Right Rindler Wedge:}\ \ \ \mathcal{R}_{+} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^1 > |x^0| \right\} \\ \text{Left Rindler Wedge:}\ \ \ \mathcal{R}_{-} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^1 < - |x^0| \right\} \\ \text{Future Wedge:}\ \ \ \mathcal{F} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^0 \geq |x^1| \right\} \\ \text{Past Wedge:}\ \ \ \mathcal{P} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^0 \leq -|x^1| \right\}$

Denken Sie daran, dass Rindler koordiniert $(\eta, \xi, x^2, x^3)$ beziehen sich auf rechtwinklige Minkowski-Koordinaten $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ durch die Verwandlung:

X^{0} = ξ Sünde (η), X^{1} = ξ cosch (η)

$x^0 = \xi \sinh(\eta)\ , \ \ \ \ \ \ x^1 = \xi \cosh(\eta)$ Die Koordinaten

(η, ξ, x^{2}, x^{3})

$(\eta,\xi,x^2,x^3)$ nur abdecken

R_{+}

$R_{+}$ Und

R_{-}

$R_{-}$ .

Man löst die Klein-Gordon-Gleichung $(\Box_{x} - m^2)r_{\mathbf{k}}(x) =0$ für Funktionen im Rindler-Modus $r_{\mathbf{k}}$ (Wo $\mathbf{k} = (\Omega,k_2,k_3) \in (0,\infty) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ die Modusparameter sind), mit der Einschränkung, dass sie in Bezug auf die Rindler-Zeit eine positive Frequenz haben $\eta$ , dh. Das bedeutet, dass $\frac{\partial}{\partial \eta} r_{\mathbf{k}} = - i \omega r_{\mathbf{k}}$ für einige $\omega > 0$ (nehmen $r_{\mathbf{k}}^{\ast}$ gibt Ihnen negative Frequenzmodi).

Man stellt fest, dass man in jedem der Rindler-Keile eine separate Lösung benötigt: Man hat also Moden mit positiver Frequenz $r^{+}_{\mathbf{k}}$ In $\mathcal{R}_{+}$ , und positive Frequenzmodi $r^{-}_{\mathbf{k}}$ In $\mathcal{R}_{-}$ . Etwas expliziter findet man:

R_{k}^{+} (η, ξ, X^{2}, X^{3}) = {\begin{cases} F_{k}^{+} (ξ) e^{- ich Ω η + ich k_{2} X^{2} + ich k_{3} X^{3}}, X \in R_{+} \\ 0, X \in R_{-} \end{cases} R_{k}^{-} (η, ξ, X^{2}, X^{3}) = {\begin{cases} 0, X \in R_{+} \\ F_{k}^{-} (ξ) e^{+ ich Ω η + ich k_{2} X^{2} + ich k_{3} X^{3}}, X \in R_{-} \end{cases}

$r^{+}_{\mathbf{k}}(\eta, \xi, x^2, x^3) =\begin{cases} \ f^{+}_{\mathbf{k}}(\xi)\ e^{ - i \Omega \eta + i k_2 x^2 + i k_3 x^3 } \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{+} \\ \ 0 \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{-} \end{cases} \\ r^{-}_{\mathbf{k}}(\eta, \xi, x^2, x^3) =\begin{cases} \ 0 \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{+} \\ \ f^{-}_{\mathbf{k}}(\xi) \ e^{ + i \Omega \eta + i k_2 x^2 + i k_3 x^3 } \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{-} \end{cases}$ Wo

f_{k}^{\pm} (ξ)

$f^{\pm}_{\mathbf{k}}(\xi)$ sind schreckliche Funktionen, ich habe nicht den Mut, sie hier einzugeben. Für die negativen Frequenzmodi nehmen Sie einfach die komplexen Konjugierten der obigen. Die Kombination all dieser Modi

{r_{k}^{+}, r_{k}^{-}, r_{k}^{+ *}, r_{k}^{- *}}

$\{ r^{+}_{\mathbf{k}}, r^{-}_{\mathbf{k}} , r^{+\ast}_{\mathbf{k}}, r^{-\ast}_{\mathbf{k}} \}$ sind komplett vorbei

R_{+} \cup R_{-}

$\mathcal{R}_{+} \cup \mathcal{R}_{-}$ . Also erweitert Takagi das Feld

ϕ

$\phi$ in Bezug auf diesen Teil des Minkowski-Raums:

ϕ (X) = \int D^{3} k [R_{k}^{+} (X) B_{k}^{(+)} + R_{k}^{+ *} (X) B_{k}^{(+) †} + R_{k}^{-} (X) B_{k}^{(-)} + R_{k}^{- *} (X) B_{k}^{(-) †}]

$\phi(x) = \int d^3\mathbf{k}\ \left[ r_{\mathbf{k}}^{+}(x) b_{\mathbf{k}}^{(+)} + r_{\mathbf{k}}^{+\ast}(x) b_{\mathbf{k}}^{(+)\dagger} + r_{\mathbf{k}}^{-}(x) b_{\mathbf{k}}^{(-)} + r_{\mathbf{k}}^{-\ast}(x) b_{\mathbf{k}}^{(-)\dagger} \right]$

Meine Frage: Warum können Sie das Feld über genau diese Teilmenge erweitern $\mathcal{R}_{+}\cup \mathcal{R}_{-}$ des Minkowski-Raums? Ich würde denken, dass Sie das Feld über alle Punkte im Minkowski-Raum erweitern müssen? Ich bin mir nicht sicher, wie ich das richtig formulieren soll, aber es sollten keine Beiträge zu diesem Bereich vorhanden sein $\phi$ kommen von $\mathcal{F} \cup \mathcal{P}$ ?

Zumindest wird dies normalerweise beim Quantisieren gemacht $\phi$ in Bezug auf die rechteckige Minkowski-Zeit, dh in Bezug auf ebene Wellen $\propto e^{\mp i \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2} x^0 \pm i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} }$ . Hier hätten Sie eine gültige Erweiterung des Feldes $\phi(x)$ für alle Punkte im Minkowski-Raum einschließlich $x \in \mathcal{F} \cup \mathcal{P}$

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Rindler-Fulling-Quantisierung - Erweiterung des Rindler-Modus von ϕϕ\phi: Warum ignorieren wir Vergangenheits- und Zukunftskeile?

Valter Moretti · Answer 1

Es gibt zwei Dinge, die Sie beachten sollten. Erstens ist die Vereinigung der beiden offenen Keile eine (nicht verbundene) global hyperbolische Raumzeit für sich, sodass eine Quantisierung problemlos möglich ist. Zweitens ist die Vereinigung dieser Keilpaare eine statische Raumzeit in Bezug auf das Boost-Killing-Vektorfeld, das genau innerhalb dieser Regionen zeitartig ist (es ist an ihrer Grenze lichtartig, aber es verschwindet an der Bifurkationsoberfläche und es ist raumartig in der verbleibenden Vergangenheit und zukünftige Wedges). Das Quantisierungsverfahren im rechten und linken Keil beruht auf der Standardkonstruktion des statischen Vakuums in Bezug auf diesen Grundzustand Zeitbegriff. Dieses statische Vakuum ist aes ist der Null-Eigenvektor des positiven Hamilton-Operators bezogen auf die Boost-Zeit (mit entsprechenden Richtungen in den beiden Keilen). Diese Konstruktion ist im Rest der Raumzeit unmöglich. Tatsächlich sind das Fulling-Unruh-Vakuum und sein Fock-Raum nur für Observable innerhalb der genannten Keile definiert und können nicht auf die gesamte Minkowski-Raumzeit ausgedehnt werden (es hat zu schlechte Singularitäten am Killing-Horizont). Sie haben also in gewisser Weise Recht mit der Tatsache, dass ein gewisser Beitrag der verbleibenden Regionen ausbleibt, tatsächlich kann dieser Staat nicht auf diese Regionen ausgeweitet werden, wie ich sagte. Umgekehrt ist das Minkowski-Vakuum überall in der Minkowski-Raumzeit und der Poincare-Invariante definiert. Es ist ein Grundzustand (0-Eigenvektor des entsprechenden positiven Hamilton-Operators) in Bezug auf jeden Begriff der Minkowski-Zeit. Wie du wahrscheinlich weißt, Das Minkowski-Vakuum, beschränkt auf die Algebra von Feldobservablen, die in den linken und rechten Keilen lokalisiert sind, erscheint als ein thermischer Zustand in Bezug auf den Boost-Begriff der Zeit (ein KMS-Zustand) im Hinblick auf das sogenannte Bisognano-Wichmann-Theorem (Fulling-Sewell). angewandt auf den einfachsten Fall von nicht wechselwirkenden Feldern... Allerdings kann diese Einschränkung nicht als Zustand (Dichtematrix) im Fock-Raum dargestellt werden, der auf Fulling-Vakuum aufgebaut ist und der algebraische Zustandsbegriff ist notwendig... Streng genommen sollte man sagen dieses Fulling-Unruh-Vakuum existiert nicht. Was existiert, ist nur der thermische Zustand, der sich anscheinend auf den Begriff des Vakuumzustands bezieht, der entsteht, wenn das Minkowski-Vakuum eingeschränkt wird. Allerdings kann diese Einschränkung nicht als Zustand (Dichtematrix) im Fock-Raum dargestellt werden, der auf dem Fulling-Vakuum aufgebaut ist, und es ist der algebraische Zustandsbegriff erforderlich ... Streng genommen müsste man sagen, dass das Fulling-Unruh-Vakuum nicht existiert. Was existiert, ist nur der thermische Zustand, der sich anscheinend auf den Begriff des Vakuumzustands bezieht, der entsteht, wenn das Minkowski-Vakuum eingeschränkt wird. Allerdings kann diese Einschränkung nicht als Zustand (Dichtematrix) im Fock-Raum dargestellt werden, der auf dem Fulling-Vakuum aufgebaut ist, und es ist der algebraische Zustandsbegriff erforderlich ... Streng genommen müsste man sagen, dass das Fulling-Unruh-Vakuum nicht existiert. Was existiert, ist nur der thermische Zustand, der sich anscheinend auf den Begriff des Vakuumzustands bezieht, der entsteht, wenn das Minkowski-Vakuum eingeschränkt wird.

Danke für die tolle Antwort. In der Literatur habe ich die Behauptung gesehen, "die Rindler-Moden können analytisch fortgesetzt werden $\mathcal{F}$ Und $\mathcal{P}$ " (Leider fällt mir dazu keine Quelle ein) $\to$ Nach dem, was ich aus Ihrem Beitrag bekomme, ist dies nicht erforderlich? Da es in diesen Regionen keine gute Vorstellung von Zeit gibt (erzeugt von $\frac{\partial}{\partial \eta}$ )? Ich verstehe jetzt die Erweiterung $\phi(x)$ liegt genauer gesagt über den Koordinaten, wo die `Zeit' $\eta$ existiert, also eher wie $\phi(\eta,\xi,x^2,x^3)$ In $\mathcal{R}_{+} \cup \mathcal{R}_{-}$
Gibt es einen Nutzen darin, die Rindler-Modi analytisch fortzusetzen? $\mathcal{F}$ Und $\mathcal{P}$ ?
Ich denke, es ist in einigen Berechnungen nützlich, ich erinnere mich nicht. Vielleicht nur um zu beweisen, dass das Minkowski-Vakuum ein thermischer Zustand im linken und rechten Keil ist. Versuchen Sie, Walds kleines Buch über Schwarze Löcher und qft in gekrümmter Raumzeit zu konsultieren. Das Problem bei der Erweiterung des Rindler-Vakuums ist, dass seine Kurzstrecken-Singularität am Killing-Horizont zu schlecht ist ...

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Valter Moretti

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