Satz von Liouville und Erhaltung des Phasenraumvolumens

Das Zusammenspiel von Hamilton- und Lagrange-Theorie basiert auf den folgenden allgemeinen Identitäten, wobei$L$ist die Lagrange-Funktion des Systems,

$$\dot{q}^k = \frac{\partial H}{\partial p_k}\:,\qquad(1)$$ $$\frac{\partial L}{\partial q^k} = -\frac{\partial H}{\partial q^k}\:.\qquad(2)$$ Oben sind die rechten Seiten Funktionen von $t,q,p$während die LH-Seiten Funktionen von sind $t,q,\dot{q}$und die beiden Arten von Koordinaten werden durch die bijektive glatte (mit glatter Umkehrung) Beziehung in Beziehung gesetzt, $$t=t\:,\quad q^k=q^k\:,\quad p_k = \frac{\partial L(t,q,\dot{q})}{\partial \dot{q}^k}\:.\qquad(3)$$ Schließlich ist die Hamilton-Funktion wie folgt definiert $$H(t,q,p) = \sum_{k}\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right|_{(t,q,\dot{q}(t,q,p))}\dot{q}(t,q,p) - L(t,q,\dot{q}(t,q,p))\:.$$ Angenommen, die folgende EL gilt, $$\frac{d}{dq}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q^k} = Q_k(t,q,\dot{q})\:, \quad \frac{d q^k}{dt}= \dot{q}^k \quad (4)\:.$$ Die Funktionen $Q_k$berücksichtigen Sie die (z. B. dissipativen) Kräfte, die nicht in die Lagrange-Funktion einbezogen werden können. Für ein System von $N$Punkte mit Positionen $\vec{x}_i$, wenn die Freiheitsgrade des Systems durch Koordinaten beschrieben werden $q^1,\ldots,q^n$so dass $\vec{x}_i= \vec{x}_i(t,q^1,\ldots,q^n)$, hat man: $$Q_k = \sum_{i=1}^N \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \cdot \vec{f_i}$$ $\vec{f}_i$ist die Gesamtkraft, die nicht im Lagrangian beschrieben wird und auf die wirkt $i$Punkt.

Man beweist leicht, dass angesichts der allgemeinen Identitäten (1) und (2) eine Kurve$t \mapsto (t, q(t), \dot{q}(t))$erfüllt die EL-Gleichungen (4), genau dann, wenn die entsprechende Kurve$t \mapsto (t, q(t), p(t))$(konstruiert aus der vorherigen über (3)), verifiziert die folgenden Gleichungen:

$$\frac{dq^k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}\:, \quad \frac{dp_k}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q^k} + Q_k\:.\quad(5)$$ In Ermangelung der Bedingungen $Q_k$, dies sind die Standard - Hamilton - Gleichungen . Wenn $Q_k\equiv 0$, selbst wenn $H$explizit von der Zeit abhängen, bewahren die Lösungen der Hamilton-Gleichungen in der Zeit das kanonische Volumen: $$dq^1 \wedge \cdots \wedge dq^n \wedge dp_1 \wedge \cdots \wedge d p_n\:.$$ Bei Vorhandensein von dissipativen Kräften, die nicht in die Lagrange-Funktion einbezogen werden können, ist der Begriff $Q_k$erscheinen und das oben genannte Volumen wird im Allgemeinen nicht beibehalten. Dies ist jedoch nicht die ganze Geschichte. Betrachten wir den gedämpften harmonischen Oszillator. In Ermangelung einer dissipativen Kraft lautet die Lagrange-Funktion $$L(x, \dot{x}) = \frac{m}{2} \dot{x}^2 -\frac{k}{2} x^2\:.$$ Die dissipative Kraft $-\gamma \dot{x}$findet in den EL-Gleichungen aufgrund des Vorhandenseins des Terms statt: $$Q = - \gamma \dot{x}\:.$$ An dieser Stelle, wenn man zur Hamiltonschen Formulierung übergeht, bleibt das kanonische Volumen entlang der Lösungen der Bewegungsgleichung nicht erhalten. Um jedoch beim gedämpften Oszillator zu bleiben, gibt es eine Möglichkeit, die dissipative Kraft in die Lagrange-Funktion einzubeziehen. Tatsächlich liefert diese neue Lagrange-Funktion die richtige Bewegungsgleichung eines gedämpften Oszillators $$L(t,q,\dot{q}) = e^{\gamma t/m}\left(\frac{m}{2} \dot{x}^2 -\frac{k}{2} x^2\right)\:.$$ In diesem Fall erweist sich die Hamilton-Funktion als $$H(t,q,p) = e^{-\gamma t/m}\frac{p^2}{2m} + e^{\gamma t/m}\frac{k}{2}x^2\:.$$ Wie die allgemeine Theorie beweist, bleibt das kanonische Volumen durch die Lösungen der Hamilton-Gleichungen erhalten, die sich auf diese Hamilton-Funktion beziehen, ungeachtet der Tatsache, dass das System dissipativ ist.

Es ist wichtig zu beachten, dass mit der zweiten Lagrange-Funktion$p$hört auf, das Standardmomentum zu sein$mv$anders als im ersten Fall.

Es gibt etwas, worauf Sie beim Satz von Liouville achten sollten. Wenn es impulsabhängige Kräfte gibt, ändert sich der Satz von Liouville, weil die Phasendichte nicht mehr inkompressibel ist.

Angenommen, wir definieren$f_{s}$=$f_{s}(\mathbf{x},\mathbf{p},t)$ $\equiv$die Partikelverteilungsfunktion von Spezies$s$, die nicht-negativ ist, enthält eine endliche Menge an Materie und existiert im Raum positiver Zeiten und$\mathbb{R}^{3}$Und$\mathbb{R}_{\mathbf{p}}^{3}$, Wo$\mathbb{R}_{\mathbf{p}}^{3}$ist der Raum aller Impulsvektoren. Eine andere Art, dies zu sagen, ist das$f_{s}(\mathbf{x},\mathbf{p},t)$ $\equiv$Dichte der Teilchen pro Einheit$d^{3}x$pro Einheit$d^{3}p$zu fester Zeit$t$.

Wir können sehen, dass es zwei Arten der Interpretation gibt$f$: (1) es kann eine Annäherung an die wahre Phasenraumdichte eines Gases sein (großer Maßstab im Vergleich zu Trennungen zwischen Teilchen); oder (2) es kann unsere Unkenntnis der wahren Positionen und Geschwindigkeiten der Teilchen im System widerspiegeln. Die erste Interpretation ist deterministisch, während die zweite probabilistisch ist. Letzteres wurde implizit von Boltzmann verwendet [zB Villani, 2002, 2006].

Die allgemeine Bewegungsgleichung für den kanonischen Phasenraum,$(\mathbf{q},\mathbf{p})$, ist gegeben durch:

$$\frac{ \partial f }{ \partial t } = f \left[ \left( \frac{ \partial }{ \partial \textbf{q} } \frac{ d\textbf{q} }{ dt } \right) + \left( \frac{ \partial }{ \partial \textbf{p} } \frac{ d\textbf{p} }{ dt } \right) \right] + \left[ \frac{ d\textbf{q} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \textbf{q} } + \frac{ d\textbf{p} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \textbf{p} } \right]$$ Vereinfachen wir, indem wir die Terme dQ/dt $\rightarrow$ $\dot{Q}$und lass $\boldsymbol{\Gamma}$ $\equiv$ $(\mathbf{q},\mathbf{p})$, dann haben wir: $$\begin{align} \frac{ \partial f }{ \partial t } & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} - \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \\ & = - \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \left( \dot{\boldsymbol{\Gamma}} f \right) \end{align}$$ und wenn wir die Gesamtzeitableitung definieren als: $$\frac{ d }{ dt } = \frac{ \partial }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} }$$ dann können wir zeigen, dass die zeitliche Änderungsrate der Verteilungsfunktion gegeben ist durch: $$\begin{align} \frac{ d f }{ dt } & = \frac{ \partial f }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \\ & = - \left[ f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \right] + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \\ & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \\ & \equiv - f \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \end{align}$$ Wo $\Lambda ( \boldsymbol{\Gamma} )$wird Phasenraumkompressionsfaktor genannt [ Evans und Morriss, 1990]. Beachten Sie, dass diese Gleichungen verschiedene Formen der Liouville-Gleichung sind, die ohne Bezugnahme auf die Bewegungsgleichungen erhalten wurden und nicht die Existenz eines Hamilton-Operators erfordern.

Wir können den letzten Ausdruck umschreiben als:

$$\frac{ d }{ dt } \ln \lvert f \rvert = - \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right)$$ was der typischen Form des Satzes von Liouville vertrauter erscheint. Wenn man die Bewegungsgleichungen aus einem Hamiltonoperator ableiten kann, dann $\Lambda ( \boldsymbol{\Gamma} )$= 0, selbst in Gegenwart externer Felder, die das System aus dem Gleichgewicht bringen. Beachten Sie, dass die Existenz eines Hamiltonoperators eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung dafür ist $\Lambda ( \boldsymbol{\Gamma} )$= 0. Für den inkompressiblen Phasenraum erhalten wir die einfache Form der Liouville-Gleichung: $$\frac{ d f }{ dt } = 0$$ Der Satz von Liouville kann jedoch durch Folgendes verletzt werden:

• Quellen oder Senken von Partikeln;
• Existenz von kollidierenden, dissipativen oder anderen verursachenden Kräften$\nabla_{\mathbf{p}}$ $\cdot$ $\mathbf{F}$ $\neq$0;
• Grenzen, die zum Einfangen oder Ausschließen von Partikeln führen, sodass nur Teile einer Verteilung von einem Punkt zum anderen abgebildet werden können;
• räumliche Inhomogenitäten, die zu einer Geschwindigkeitsfilterung führen (z. B. Partikeldriftgeschwindigkeiten, die verhindern, dass Partikel mit kleineren Geschwindigkeiten den Ort erreichen, den sie erreicht hätten, wenn sie nicht gedriftet wären);
• zeitliche Variabilität an der Quelle oder anderswo, die zu einer nicht gleichzeitigen Beobachtung von entgegengesetzt gerichteten Flugbahnen führt;
• usw. [ Paschmann und Daly 1998].

Zusammenfassung
Das Vorhandensein von Quellen oder Senken von Teilchen, impulsabhängigen Kräften, Einfangen oder Ausschluss, Geschwindigkeitsfilterung usw. kann eine Kompressibilität in den Phasenraum einführen und zu Folgendem führen:

$$\frac{ d f }{ dt } \neq 0$$

Verweise

1. Evans, DJ, und G. Morriss (1990), Statistical Mechanics of Nonequilibrium Liquids, 1. Auflage , Academic Press, London 1990.
2. Paschmann, G., und PW Daly (1998), Analysemethoden für Multi-Spacecraft-Daten. ISSI Scientific Reports Series SR-001, ESA/ISSI, Bd. 1. ISBN 1608-280X, 1998, ISSI Sci. Rep. Ser., 1 .
3. Villani, C. (2002), Kapitel 2. Ein Überblick über mathematische Themen in der Kollisionskinetiktheorie, S. 71-74, North-Holland, Washington, DC, doi:10.1016/S1874-5792(02)80004-0.
4. Villani, C. (2006), Entropieproduktion und Konvergenz zum Gleichgewicht für die Boltzmann-Gleichung, in XIVTH International Congress on Mathematical Physics , herausgegeben von J.-C. Zambrini, S. 130-144, doi:10.1142/9789812704016_0011.

Also habe ich mich gefragt, ob es auch dann noch wahr ist, wenn das System wie ein gedämpfter harmonischer Oszillator dissipativ ist?

Es ist wahr, wenn das dissipative System hamiltonsch ist, dh wenn das dissipative Verhalten durch zeitabhängigen Hamiltonsch beschrieben werden kann. Beispielsweise kann ein Oszillator, der mit Millionen Oszillatoren verbunden ist, durch den Hamilton-Operator beschrieben werden

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 - xF(t),$$ Wo $F(t)$ist die Kraft, die aufgrund anderer Oszillatoren auf den Oszillator wirkt. Passende Funktion $F(t)$führt dazu, dass sich das System dissipativ verhält, aber da das System durch Hamiltonian beschrieben wird, ist das Liouville-Theorem gültig.