Intuition zur Erhaltung des Volumens im Phasenraum (Theorem von Liouville)

Keine Demonstration, aber vielleicht etwas visuelleres als die anderen richtigen Antworten.

Anstatt wie von Ihnen vorgeschlagen in 2D zu sein, versuchen wir zu sehen, was in 1D passiert, wenn sich die Partikel "radial" nach außen bewegen$x=0$. Grüne Kugeln bewegen sich mit konstantem Schwung nach links$-p$und rote Bälle gehen mit dem gleichen absoluten Impuls nach rechts$p$(Ich nehme an, sie haben alle die gleiche absolute Geschwindigkeit. Das Argument ist auf diese Weise viel einfacher zu erklären ... Auch wenn Sie nach unterschiedlichen Impulsen fragen ...)

Im Phasenraum ergibt diese Konfiguration zu zwei verschiedenen Zeitpunkten:

Der Impuls ändert sich nicht, da es keine Kraft gibt (also gleich$y$Wert was auch immer$t$ist) und der Abstand zwischen zwei gleichfarbigen Kugeln (im realen Raum) ist zu jeder Zeit gleich (der Abstand zwischen meinen 2 grünen Kugeln und meinen 2 roten Kugeln ist$1$in meiner schrecklichen Figur).

Ich habe auch versucht, die Oberfläche (dh das Volumen in$d>2$) in grau zu Zeit$t=0$und zu einem späteren Zeitpunkt$t=a$.

Nun, die Fläche dieser Parallelogramme (das "Volumen", begrenzt durch unsere 4 Kugeln bei$t=0$oder$t=a$) ist natürlich die Höhe des Parallelogramms mal die Länge seiner Grundfläche. Es ist trivial zu sehen, dass auf der Abbildung beide Parallelogramme dann die gleiche Fläche haben. Das von den 4 Kugeln begrenzte Volumen ist also konstant, obwohl sich die Kugeln im realen Raum in entgegengesetzte Richtungen bewegen.

bearbeiten

Es funktioniert auch bei unterschiedlichen Impulsen (obwohl es etwas schwieriger zu sehen ist (ich habe die Position von 2 Kugeln geändert, damit die Berechnung der Fläche einfacher ist)). Wir hätten für jedes Teilchen einen anderen absoluten Impuls nehmen können, aber wir würden die Symmetrie verlieren, und daher wäre es schwierig, die Fläche zu berechnen (wenn Sie beispielsweise einen Impuls gleich 0 nehmen, wie Sie vorschlagen, würde dies die Erhaltung der Fläche erschweren visuell zu sehen).

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Kommentare verstehe, aber ich werde versuchen zu antworten.

Ja, ich habe Punkte gezeichnet, aber wir sprechen nicht über das Volumen dieser Punkte, wir sprechen über das Volumen, das durch eine Punktwolke begrenzt ist (also sind 3 Punkte erforderlich).

Wir können diesen Bereich auch als Wahrscheinlichkeitsdichte betrachten. Selbst wenn in der klassischen Mechanik ein Teilchen im Phasenraum Dirac-Delta ist (es nimmt kein Volumen an), ist es nicht wirklich das, womit sich das Liouville-Theorem befasst (zumindest zunächst). . Zum Beispiel können wir sagen, dass wir nicht wirklich wissen, wo sich unser Teilchen (mit Volumen 0) befindet, aber wir sind sicher, dass es sich in einem winzigen Quadrat (oder Parallelogramm) der Fläche befindet$A$im Phasenraum mit einheitlicher Wahrscheinlichkeit. Dann können wir sagen, dass sich das Teilchen nach einiger Zeit immer noch innerhalb einer Fläche befindet$A$(aber nicht unbedingt ein Quadrat).

Diese Erklärung ist nicht sehr allgemein, aber irgendwie nützlich.

Jetzt sprechen wir über Volumenerhaltung, weil$dpdx$zum Zeitpunkt$t$ist gleich$dxdp$zum Zeitpunkt$t'>t$. Dies ist äquivalent zu der Behauptung, die ich oben erwähnt habe, nämlich: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist konstant entlang (also dem Fluid folgend ) einer klassischen Trajektorie im Phasenraum. Wo$dx$Und$dp$sind die horizontalen und vertikalen Längen Ihres Fluid-Elements (oder Ihrer Punktwolke, da diese gleich sind).

Am Ende des Tages wollen Sie nur ein Volumen definieren, sei es eine Wahrscheinlichkeitsdichte mit Ihren in Ihren Kommentaren erwähnten Fluidelementen oder eine durch Punkte begrenzte Fläche wie in meinen Abbildungen, und zeigen, dass dieses Volumen erhalten bleibt. Der Wahrscheinlichkeitsdichte/Fluid-Ansatz wird besser verstanden mit$\frac{d\rho}{dt}=0$(siehe die Wiki-Seite), während der Volumenansatz besser verstanden wird, wenn man das sieht$dx(t)dp(t)=dx(t+dt)dp(t+dt)$wegen der Gleichheit der gemischten Ableitung des Hamilton-Operators . Aber sie sind beide gleichwertig.

Ich spreche immer noch von Ihrem zweiten Kommentar, hier ist der "flüssige Ansatz" (meine ersten Zahlen verfolgen den Ansatz "Volumen, der durch alle Punkte begrenzt ist", aber ich wiederhole, beide sind gleichwertig).

Also nehmen wir jetzt, wie Sie vorgeschlagen haben, 2 Flüssigkeitselemente anstelle von 1, um 4 Teilchen zu beschreiben (es könnte mühsam sein, dies zu tun, aber nehmen wir an, es passiert nichts allzu Ernstes$t>0$).

Was hier wichtig ist, ist, dass bei$t = 0$Sie glauben nicht, dass Sie die Position Ihrer Teilchen genau kennen, Sie sagen: Nun, ich habe 2 Teilchen in der oberen Ellipse und 2 in der unteren Ellipse, aber ich weiß nicht wo (Sie definieren eine Wahrscheinlichkeitsdichte$\rho$). Dann bewegen Sie alle Punkte innerhalb dieser Volumina gemäß ihren entsprechenden Bewegungsgleichungen. Dies ergibt ein neues Volumen/Fläche (auf der Abbildung sind dies die äußersten Ellipsen bei$t=2$) haben diese neuen Punktwolken/Partikelwolken/Wahrscheinlichkeitsdichten/Fluidelemente (die jeweils 2 Partikel enthalten) dieselbe Fläche wie das, womit wir begonnen haben. Beachten Sie, dass uns in diesem Fall das Volumen zwischen den Fluidelementen egal ist!

Ich habe das Gefühl, dass ich alles durcheinander gebracht habe, also ist es vielleicht nicht sehr verständlich, aber ich wollte viele Beispiele geben.

Betrachten wir ein Teilchen im eindimensionalen Raum; der allgemeine Fall fügt nur mehr Terme hinzu. Der Satz besagt, dass die Phasenraumdichte erfüllt ist$\rho_t+p\rho_q=0$(Ich habe das letzte Semester gestrichen, da Sie sparen$p$, und angenommene Einheitsmasse so$p=\dot{q}$). Dies hat eine allgemeine Lösung$\rho=f(q-pt)$, das den Blob (flüssiges Element, flüssiges Paket, welchen Begriff Sie auch immer bevorzugen) im Phasenraum zeigt, driftet mit hoher Geschwindigkeit$p$, verformt sich aber nicht und verändert das Volumen nicht. (Beachten Sie auch, dass dies eine advektive Ableitung ist $D_t\rho=0$, die die gleiche Intuition "bewegt, aber nicht umformt" in der Strömungsmechanik hat.)

Es kann Ihrer Intuition helfen, wenn Sie anstelle des Begriffs „Teilchen“ an den Begriff „flüssiges Element“ denken. Ein flüssiges Element ist ein kleines Flüssigkeitsvolumen, das klein genug ist, dass alle seine Inhalte die gleiche Geschwindigkeit haben, und dessen Masse erhalten bleibt, wenn sich die Flüssigkeit entwickelt. Wenn Sie möchten, können Sie ein solches flüssiges Element dann so betrachten, als ob es eine feste Anzahl von Teilchen enthält. Wie auch immer, während sich Ihr Beispiel entwickelt, werden Sie feststellen, dass jedes dieser flüssigen Elemente zu einer Linie gezogen wird, die dünner wird, wenn sie länger wird. Dies ist zunächst am einfachsten für Bewegungen in einer Dimension zu sehen (giving$(x,p_x)$Phasenraum) und dann können Sie entweder versuchen, es sich in mehr Dimensionen vorzustellen, oder einfach der Algebra vertrauen.

1. Nun, der Satz von Liouville kann so formuliert werden, dass Hamiltonsche Vektorfelder im Phasenraum divergenzfrei sind.

   Lassen Sie uns versuchen, die obige Aussage zu entpacken. Betrachten Sie ein unendlich kleines Flüssigkeitspaket von$m$Punkte in der$2n$-dimensionalen Phasenraum (d. h. stellen Sie sich vor, wir wiederholen dasselbe Experiment$m$Zeiten mit leicht unterschiedlichen Anfangsbedingungen). Dann hat das Flüssigkeitspaket im Laufe der Zeit ein konstantes Volumen.

2. Betrachten Sie der Einfachheit halber ein freies Teilchen. In$n=1$Dimension sind die Trajektorien in der 2D-Phase dann horizontale Linien, die trotz der zeitlichen Änderung der Positionskoordinate deutlich divergenzfrei sind.

   Ein freies Teilchen in höheren Dimensionen$n>1$kann als kartesisches Produkt von angesehen werden$n$2D-Phasenräume. Die Zeitentwicklung ist noch divergenzfrei.