Sind alle Lösungen des Systems {f(x,y)=0f(y,x)=0{f(x,y)=0f(y,x)=0\begin{cases} f(x,y) =0 \\ f(y,x)=0 \end{cases} (falls es welche gibt) Paare gleicher Zahlen?

Ich musste dieses System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten über den reellen Zahlen lösen:

{ X 3 − X − j = 0 j 3 − j − X = 0

Der einfache Ersatz j = X 3 − X funktioniert natürlich. Die Lösungen sind: ( 0 , 0 ) , ( 2 , 2 ) , ( − 2 , − 2 ) . Es erscheint mir ziemlich interessant, dass alle Lösungen Paare gleicher Zahlen sind, und ich habe versucht, das auf andere Weise herauszufinden.

Unser Gleichungssystem hat die Form

{ F ( X , j ) = 0 F ( j , X ) = 0

Einfach ausgedrückt, eine Gleichung wird durch Ersetzen aus einer anderen erhalten X mit j und umgekehrt. Wenn wir die Graphen der Gleichungen plotten F ( X , j ) = 0 Und F ( j , X ) = 0 Auf demselben Koordinatensystem sind die erhaltenen geometrischen Figuren Spiegelungen voneinander in der Linie j = X . Der Grund ist, dass X Und j tauschen ihre Rollen, wenn wir von einer Gleichung zur anderen übergehen.

Wenn also unser Gleichungssystem Lösungen hat, haben sie die Form von Paaren gleicher Zahlen. Andernfalls würde die Symmetrie der Graphen verletzt.

Meine Frage ist, ob dieser Ansatz mathematisch gültig ist.

Betrachten Sie eine Funktion, die bereits symmetrisch ist, wie z F ( X , j ) = X 2 + j 2 − 1 .
Danke für das Gegenbeispiel. Wie auch immer, kann mein Argument modifiziert werden, um ein korrektes zu werden? Zum Beispiel durch die Herstellung F ( X , j ) eine nichtsymmetrische Funktion von X Und j .
@HaraldHanche-Olsen, soweit ich das verstehen kann, die Voraussetzung für F ( X , j ) nicht symmetrisch zu sein, macht den Graphen zu F ( X , j ) nicht symmetrisch in Bezug auf die Linie j = X . Dann die Schnittpunkte dieses Graphen (falls vorhanden) mit F ( j , X ) = 0 auf der Linie liegen j = X , nicht wahr?

Antworten (2)

Betrachten Sie das System: { X + j = 0 j + X = 0 Wir haben F ( X , j ) = X + j und, sagen wir mal X = 1 , j = − 1 ist die Lösung für das System.

X=y=0 ist ebenso eine Lösung wie x=-y.
@martycohen Der Punkt ist X ≠ j

Wenn also unser Gleichungssystem Lösungen hat, haben sie die Form von Paaren gleicher Zahlen. Andernfalls würde die Symmetrie der Graphen verletzt.

Das ist nicht logisch – nein, es müssen keine Paare gleicher Zahlen sein. Ja, die Symmetrie des Graphen impliziert die Symmetrie der Lösungen, wie in symmetrischen Beziehungen: wenn ( X , j ) ist dann eine Lösung ( j , X ) ist auch eine lösung. Die richtige allgemeine Schlussfolgerung ist also, dass Lösungen mit ungleichen Zahlen paarweise auftreten müssen.

Hier ist ein schnelles nichtsymmetrisches Beispiel: let F ( X , j ) = X 2 − 1 . Dann ist das Gleichungssystem

{ X 2 − 1 = 0 j 2 − 1 = 0
deren Lösungen sind ( ± 1 , ± 1 ) , von denen die Hälfte ungleich ist X Und j .

Sind alle Lösungen des Systems {f(x,y)=0f(y,x)=0{f(x,y)=0f(y,x)=0\begin{cases} f(x,y) =0 \\ f(y,x)=0 \end{cases} (falls es welche gibt) Paare gleicher Zahlen?
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