Effizienter Ansatz, um zu verifizieren, dass die einzigen echten Lösungen für dieses System quadratischer Gleichungen trivial sind?

Lassen A , B , C , D , e , F reelle Zahlen sein. Bei meinen Recherchen bin ich auf folgendes Gleichungssystem gekommen

A + D + F = 0 , A D + A F + D F − B 2 − C 2 − e 2 = 0 A e 2 + C 2 D − 2 B C − A D F = 0.

Wenn wir dies in Wolfram einfügen, erhalten wir einige unhandliche Ausdrücke, aber alle erfordern, dass eine dieser Zahlen komplex ist.

Gibt es eine effiziente Methode, um direkt zu beweisen, dass die einzige wirkliche Lösung dieses Gleichungssystems die triviale ist?

Um den Berechnungsfall zu untermauern: Wenn Sie dieses Gleichungssystem in Mathematica aufstellen, kann der FindInstanceBefehl keine zwei reellen Lösungen finden (er findet die triviale). Das ist kein mathematischer Beweis, aber es bedeutet, dass Mathematica keine nichttriviale Lösung findet. (Code: FindInstance[{a+d+f==0,a d+d f+ a f==b^2+c^2+e^2,a e^2+c^2 d==2 b c+a d f},{a,b,c,d,e,f},Reals,2].)
@WillJagy Danke für deinen Kommentar. Ich verstehe nicht, was bedeutet das Scheitern der Homogenität?
@Semiclassical Danke, das ist ein toller Scheck :)
Ein Ansatz, der gelegentlich für solche Polynomsysteme verwendet wird, obwohl ich nicht weiß, wie nützlich er hier wäre, ist die Methode der Quadratsumme. Die Idee ist zu zeigen, dass eine Lösung dieses Gleichungssystems dies implizieren würde A 1 F 1 2 + A 2 F 2 2 + ⋅ + A k F k 2 = 0 , bei dem die F k sind lineare Funktionen der 6 Variablen. Aber die linke Seite kann nur wahr sein, wenn alle linearen Funktionen identisch verschwinden, was leicht zu testen ist.

Antworten (1)

Quadrieren Sie die erste Gleichung, die Sie erhalten

A 2 + D 2 + F 2 + 2 A D + 2 A F + 2 D F = 0.

Einsetzen in die zweite ergibt

1 2 A 2 + B 2 + C 2 + 1 2 D 2 + e 2 + 1 2 F 2 = 0 ,

aber das ist nur möglich, wenn alle Variablen gleich sind 0 .

Sehr schön! Danke :)
Dies scheint ein Beispiel für die Quadratsummenmethode zu sein, die ich in den Kommentaren angegeben habe. Gut erkannt!
Eine andere Möglichkeit, dieses Ergebnis zu sehen, obwohl es weniger elegant aussieht: Eliminieren F von der zweiten Gleichung über die erste haben wir A 2 + C 2 + A D + D 2 + e 2 + B 2 = 0 . Aber A 2 + A D + D 2 = 1 2 A 2 + 1 2 ( A + D ) 2 + 1 2 D 2 , also ist die Gleichung eine Summe von Quadraten und hat nur eine triviale Lösung.
Effizienter Ansatz, um zu verifizieren, dass die einzigen echten Lösungen für dieses System quadratischer Gleichungen trivial sind?
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