Jede rechtfertigungstheoretische Erkenntnistheorie hat Axiome und Prämissen, mit denen sie beginnt. Diese Tatsache hat Skeptiker dazu veranlasst, die Möglichkeit des Wissens zu kritisieren, indem sie den unendlichen Rückschritt bei jedem Versuch eines Beweises anmerkten. Aber dieses skeptische Problem wurde in aristotelischen und mittelalterlichen Erkenntnistheorien beantwortet; Es gibt selbstverständliche Wahrheiten . Hier hört der erklärende Regress der Verifikation auf.
Nun wird diese Antwort oft dafür kritisiert, entweder „dogmatisch“ zu sein oder eine Unterscheidung zwischen zwei Arten von Aussagen zu schaffen, eine Unterscheidung, die im Widerspruch zu dem stehen könnte, was über unsere Aussagen in ihrem eigentlichen Kontext gesagt werden kann. Das heißt, es wird unterschieden zwischen Aussagen, die einer Überprüfung bedürfen, und Aussagen, die dies nicht tun, zwischen Aussagen, die „aufgrund ihrer Bedeutung“ bekannt sind, und Aussagen, die aufgrund einiger Erfahrung bekannt sind.
Lässt man die Diskussion darüber, was eine solche Unterscheidung implizieren würde und ob sie tatsächlich existiert, außer Acht, könnte man sich einer anderen Frage zuwenden: Würden diese selbstverständlichen Prinzipien wirklich keinerlei Informationen enthalten, sondern nur bedeutungslose Tautologien sein?
Es hängt von Ihrer Definition von Informationen ab. Wenn man die informationstheoretische Definition verwendet, tragen selbstverständliche Wahrheiten keine Information, weil sie nichts über das Universum aussagen, das nicht bereits als bekannt vorausgesetzt wurde (durch die Aussage wurden keine möglichen Zustände ausgeschlossen). Allerdings ist es zugegebenermaßen ein Zirkelschluss für die Informationstheorie, der einige grundlegende Axiome benötigt, bevor er in einer Form niedergeschrieben werden kann, die eine Berechnung des Informationsgehalts ermöglicht.
Andererseits werden selbstverständliche Wahrheiten oft als Abkürzung für eine lange Argumentationskette verwendet ("es lässt sich zeigen, dass ..."). Diese selbstverständlichen Wahrheiten hätten ziemlich viel Informationsgehalt, obwohl es für die Person, die sie verwendet, möglicherweise nicht offensichtlich ist!
Auf der (dritten) Seite hat die Suche nach der kleinsten Wahrheit, die man als „selbstverständlich“ bezeichnen muss, damit eine Theorie zutrifft, eine ganze Reihe von Gelehrten interessiert. Die Schule der umgekehrten Mathematik ist im Grunde eine Übung darin, wie wenig man annehmen kann, wenn man einen Punkt beweist.
Als Ergänzung könnte Sie das Aggripan-Trilemma (alias Münchhausen-Trilemma) sehr interessieren, das die Grundlage für ein starkes skeptisches Argument in der von Ihnen untersuchten Richtung bildet.
Wenn alle selbstverständlichen Wahrheiten Tautologien oder irgendwie redundante Versionen derselben Sache sind, dann wird die Mathematik plötzlich zu einer leeren und sinnlosen Domäne.
Die Elemente von Peanos Arithmetik sind selbstverständlich – um sie etwas zu vereinfachen: Wir verstehen die Gleichheit (von diskreten und endlichen Dingen) richtig, wir können immer eine andere Zahl erhalten, Gleiches addiert zu Gleichem, Nettogleichem, und vollständige Induktion führt zu Sinnvolle Verallgemeinerungen.
Arithmetik hat jedoch viel Inhalt, nicht nur dumme Redundanz und sogar ein bisschen Kontroverse. (Zum Beispiel können wir immer größere Zahlen bekommen, aber wir glauben an Unendlichkeit. Wie viele Unendlichkeiten gibt es also, und können wir sie alle identifizieren?)
Manche Dinge sind offensichtlich, weil sie Kommunikation ermöglichen und stattfinden. Grundlegende Mathematik fällt in diesen Haufen. Ob dies „ultimative“ Wahrheiten sind, die in irgendeiner Weise die menschliche Sprache überschreiten, oder ob es sich nur um genetische Vorurteile handelt, die den meisten gesunden und vollständigen menschlichen Gehirnen natürlich vorkommen, ist eine ganz andere Frage. Aber die ganze Mathematik ist nicht leer, redundant oder tautolog.
Ich möchte darauf hinweisen, dass in der Mathematik ein Axiom nicht "selbstverständlich" sein muss. Tatsächlich wurden neue Formen der Geometrie erfunden, indem das „selbstverständliche“ euklidische Axiom geändert wurde, dass „nur eine Linie zwei Punkte verbindet“. Ob die Riemann- oder Lobatchevski-Versionen "selbstverständlich" sind, ist eine Frage der persönlichen Meinung (relativ), und viele Menschen mögen zustimmen, dass sie weniger "selbstverständlich" sind als die euklidische.
Im Wesentlichen ist ein Axiom eine Grundaussage in einem Modell. Es scheint, dass seine Eigenschaft, "selbstverständlich" zu sein, nicht notwendig ist ; sondern nur nützlich , um eine erfolgreiche Theorie aufzubauen, die praktische Anwendungen haben könnte.
Eines der am wenigsten „selbstverständlichen“ Axiome, die mir einfallen, ist jenes, das Geometrien in Dimensionen über 3 gefunden hat.
Nicht unbedingt, selbstverständliche Wahrheiten erfordern einfach keinen Beweis, siehe z. B. Russells Kommentar zu seiner Vollendung des Beweises für " 1 + 1 = 2 "
Was die Redundanz betrifft, so kann "2 + 2 = 4" sicher als redundant angesehen werden, aber es ist eine ganz andere Aussage als "4". Ebenso mit „Dividenden erfordern Finanzierung“ – die Aussage ist für diejenigen offensichtlich, die Finanzen verstehen, kann aber für diejenigen aufschlussreich sein, die dies nicht tun, und im Fall beider Leser ist der Satz über die Äußerung von „Dividenden“ hinaus bedeutungsvoll, die sich völlig nicht um die kümmern logistische Überlegungen zur eigentlichen Finanzierung.
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