Sind Born-Oppenheimer-Energien analytische Funktionen nuklearer Positionen?

Ich suche nach Verweisen auf eine Bibliographie, die die Glätte und Analytizität von Eigenwerten und Eigenfunktionen (und Matrixelementen im Allgemeinen) eines Hamilton-Operators untersucht, der von einigen Parametern abhängt.

Betrachten Sie zum Beispiel die ursprüngliche Einstellung der Born-Oppenheimer-Näherung zur Molekulardynamik, wo die Kernwellenfunktion vorübergehend ignoriert wird und die Hamilton-Funktion durch die Positionen parametrisiert wird R m der Kerne,

H ^ ( R m ) = − ∑ ich = 1 N ℏ 2 2 m ∇ ich 2 + ∑ ich > j e 2 | r ich − r j | − ∑ ich , m Z m e 2 | r ich − R m | .
Die Energien E n ( R m ) werden dann zu Funktionen aller Kernkoordinaten und bilden daher die Energielandschaft, die die Entwicklung der Kernwellenfunktionen steuert. Seit dem ursprünglichen Erscheinen der R m liegt in den analytischen (naja, meromorphen) Funktionen 1 | r ich − R m | , Ich würde eine weitere Abhängigkeit von der erwarten R m meromorph zu sein (und würde definitiv eine physikalische Bedeutung von Stangen und Astschnitten erwarten).

Was ich suche, sind Hinweise auf Literaturverzeichnisse, die Ergebnisse dieser Art in einem möglichst allgemeinen Rahmen bestätigen oder widerlegen. Insbesondere bei einem gegebenen Hamiltonian, der von einer Reihe von Parametern abhängt z 1 , … , z m Ich möchte in geeignet definierter analytischer Weise Ergebnisse sehen, die die Analytizität von Matrixelementen (und damit beispielsweise von Eigenwerten) unter Einbeziehung der Eigenvektoren des Hamiltonoperators belegen. Mich würde auch interessieren, welche Größen analytisch auf die komplexe Ebene erweitert werden können.

Alle Hinweise werden sehr geschätzt.

Antworten (1)

Denke das für alle z in einer offenen Menge Z von komplexen Zahlen enthalten z 0 , der Hamiltonian H ( z ) ist eine kompakte Störung der Selbstadjungierten H ( z 0 ) abhängig von analytisch z . Dann für jeden einfachen Eigenwert E 0 von H ( z 0 ) und zugehöriger normalisierter Eigenzustand ψ 0 , gibt es eine komplexe Nachbarschaft N von z 0 und einzigartige Funktionen E ( z ) und ψ ( z ) , definiert und analytisch an N , so dass E ( z 0 ) = E 0 , ψ ( z 0 ) = ψ 0 , und H ( z ) ψ ( z ) = E ( z ) ψ ( z ) und ψ 0 ∗ ψ ( z ) = 1 für alle z ∈ N .

Der Beweis ist im Wesentlichen der Umkehrfunktionssatz in einem Banachraum für das resultierende nichtlineare System, kombiniert mit dem angewendeten Spektralsatz H ( z 0 ) . Ich denke, Sie können die relevanten Hintergrundergebnisse (wenn nicht eine Störungsaussage ähnlich der obigen) in dem alten Buch von Kato finden.

Da braucht es keine Annahme H ( z ) ist selbstadjungiert (wäre nicht für alle der Fall z ∈ Z es sei denn H ( z ) ist konstant). Natürlich bewegen sich die Eigenwerte im Allgemeinen in den komplexen Bereich if z 0 war echt aber z ist komplex.

Das Abschwächen der Annahmen erfordert stärkere (sogenannte „harte“) Formen des Umkehrfunktionssatzes, deren Formulierung und Überprüfung im Allgemeinen viel Technik erfordern.

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