Dies ist eine Frage, die ich in Maths SE gestellt habe, und es wurde vorgeschlagen, dass ich sie hier stelle. Dies ist eine direkte Kopie dieser Frage .
Ich habe Tristan Needhams ausgezeichnete Visual Complex Analysis gelesen. Das Ende des Buches befasst sich fast ausschließlich mit Physik, wobei Symmetrien konformer Abbildungen verwendet werden, um die berühmte Methode der Bildtechnik in der Elektrodynamik zu verallgemeinern. Die Methode der Bilder wird verwendet, um das elektrische Feld aufgrund einer Ladung zu finden, wenn sich eine geerdete Oberfläche (z. B. eine Kugel oder eine Ebene) in der Nähe befindet. (Siehe zB Wikipedia .)
Die Probleme scheinen mir jedoch nur sehr wenige Anwendungen im "realen Leben" zu haben, wobei das Hauptproblem darin besteht, dass die komplexe Ebene zweidimensional ist, während wir in einer dreidimensionalen Welt leben.
Um dieses Problem konkret zu sehen, geht es um die elektrostatische Kraft denn die Oberfläche einer Kugel mit Radius zentriert bei der Ladung ist proportional zu . Da die komplexe Ebene jedoch zweidimensional ist, erzeugt eine Ladung in der komplexen Ebene ein Feld, das wie folgt aussieht . Daher ist jede Lösung, die wir für ein Problem dieser Art in der komplexen Ebene finden, in 3D nicht relevant.
Und das ist meine Frage, gibt es eine physikalische Anwendung dieser Technik? Oder ist es völlig egal?
Ja und nein.
Wie Muphrid in math.se schrieb, sind 2D-Probleme im "wirklichen Leben" wirklich 3D-Probleme, bei denen eine Dimension ignoriert wurde, weil das System eine Translationssymmetrie entlang ihr hat. So entspricht eine einzelne Punktladung in 2D einer unendlich langen Linienladung in drei Dimensionen – die ja auch eine Kraftskalierung als solche hat .
Dies ist ein sehr nützliches physikalisches System, und sein Verständnis wird durch die Verwendung komplexer Analysen stark unterstützt. Allerdings hat es den ganz realen Nachteil, dass es sich nicht um ein echtes physikalisches System handelt: Unendlich lange Stäbe sind in Laborschränken schwer zu bekommen. Daher können alle 2D-Probleme immer nur Annäherungen an ein 3D-System sein, bei dem die Variationen entlang der dritten Dimension über Längenskalen viel größer sind als die anderen beiden, und das ist keine unvernünftige Frage.
Dasselbe gilt für 2D-Fluiddynamiksimulationen: Wenn ein Flugzeugflügel lang ist, ist es sinnvoll, ihn als 2D-Strömung über seinen Querschnitt zu modellieren, insbesondere wenn uns dies ein gutes Verständnis der Physik verschafft. Während das 2D-Modell niemals eine sehr genaue Darstellung realer Systeme sein kann – außer vielleicht für sehr eingeschränkte Windkanalexperimente – können die physikalischen Erkenntnisse, die wir daraus gewinnen, sehr oft auf weitaus komplexere Situationen übertragen werden.
JoshPhysik