Sind Phasenübergänge zweiter Ordnung immer skalen-/Lorentz-invariant?

Ich weiß, dass sowohl Skaleninvarianz als auch Lorentz-Invarianz typischerweise bei Phasenübergängen zweiter Ordnung auftreten, aber gibt es einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? (Ich weiß, dass geglaubt wird, dass jede Theorie, die sowohl skalen- als auch Lorentz-invariant ist, auch konform invariant sein muss, und dass Joe Polchinski bewiesen hat, dass dies in zwei Dimensionen wahr ist, aber das ist nicht meine Frage.) Haben Sie tatsächlich eine der vielen qualitativen Unterschiede zwischen Phasenübergängen erster und zweiter Ordnung, die allgemein bewiesen sind? (Ich definiere die Ordnung eines Phasenübergangs als die niedrigste diskontinuierliche Ableitung der freien Energiedichte der thermodynamischen Grenze.)

Antworten (1)

Ich entdeckte, dass Phasenübergänge zweiter Ordnung durch Skaleninvarianz gekennzeichnet sind, aber nicht unbedingt durch Lorentz-Invarianz. Beispielsweise ist jeder kritische Punkt, dessen tiefliegendes Anregungsspektrum im Impuls eher quadratisch als linear ist, skaleninvariant, aber weder Lorentz- noch konforme Symmetrie treten am Phasenübergang auf. Beispiele für Phasenübergänge, die skaleninvariant, aber nicht konform sind, sind freie Fermionen, deren chemisches Potential auf den Metall-Band-Isolator-Übergang abgestimmt ist, und Heisenberg-Antiferromagnete bei angelegtem Sättigungsfeld.

Was genau meinst du mit Lorentz-Invarianz? Die "Lorentz-Invarianz", die ein Teil der konformen Gruppe ist, von der die Leute bei Phasenübergängen sprechen, sind einfach die Rotationen, nicht wahr?
@PeterKravchuk Nein, es sind auch die Boosts, bei denen die Lichtgeschwindigkeit durch die Schallgeschwindigkeit ersetzt wird.
Ok, das ist interessant und nicht das, woran ich normalerweise denke. Haben Sie Hinweise auf Situationen, in denen Lorentz-Invarianz auftritt? Ich bin etwas verwirrt, weil in thermodynamischen Gleichgewichtsbeschreibungen die Zeit entweder kein Teil der Beschreibung ist oder periodisch und imaginär ist. Beziehen Sie sich auf einige Nichtgleichgewichtseigenschaften (in dem Sinne, dass Schall kein Gleichgewicht ist)?
@PeterKravchuk Es gibt zwei verschiedene Kontexte, in denen eine Lorentz-ähnliche Symmetrie entstehen kann. In der statistischen Feldtheorie ist die Zeitkoordinate, wie Sie sagen, imaginär, also in Systemen wie dem φ 4 Skalarfeldtheorie, die das Ising-Modell beschreibt, ist die emergente Symmetriegruppe S Ö ( 4 ) . Aber unabhängig von der statistischen Gleichgewichtsfeldtheorie kann man auch die Echtzeitdynamik der Anregungen um den Grundzustand betrachten. (Sie können dies für beliebige Systeme tun, z. B. Gittersysteme, nicht nur für Feldtheorien.) Wenn die Anregungen eine lineare Dispersion der Form ...
... ω = C S k für klein k , dann wird sich die Dynamik der langwelligen Anregungen bewahrheiten S Ö ( 3 , 1 ) Lorentz-Invarianz mit einer "Lichtgeschwindigkeit", die durch die Schallgeschwindigkeit gegeben ist C S . Dies geschieht beispielsweise ständig in Systemen, die eine kontinuierliche Symmetrie spontan brechen, wie akustische Phononen in einem Suprafluid oder Spinwellen in einem Antiferromagneten. Siehe physical.stackexchange.com/questions/63507/… für weitere Diskussionen.
Ich glaube nicht, dass ich damit einverstanden bin, dass es im Ising-Modell beim Phasenübergang eine SO (4) -Symmetrie gibt (ich weiß einiges über Ising CFT in 3d). Nun, sicher, die konforme Gruppe S Ö ( 4 , 1 ) hat eine solche Untergruppe, aber es ist nicht die, über die wir sprechen, da sie konformer Natur ist (die neuen Generatoren hier sind Kombinationen der Form K μ + P μ ). Daher bin ich skeptisch gegenüber dem ersten Teil Ihres Kommentars. Der zweite Teil Ihres Kommentars ist das, was ich erwartet hatte, also stimme ich Ihnen hier zu. Dies sind Symmetrien der Dynamik. ...
... Die dynamische Theorie muss einheitlich sein, und dann wird (modulo einiger technischer Annahmen) angenommen, dass Skaleninvarianz konforme Invarianz impliziert (haben Sie das in der Klammer in Ihrer Frage gemeint?). Beachten Sie, dass das euklidische Äquivalent der Unitarität für statistische Theorien Reflexionspositivität ist und nicht grundsätzlich erforderlich ist (deshalb gibt es nicht-unitäre CFTs, ​​die uns in der statistischen Mechanik wichtig sind).
Ich meinte die Implikation unter der Hypothese der Lorentz-Invarianz Ihrer dynamischen Theorie (Poincare, um pedantisch zu sein). Der Punkt, den ich machen wollte, war, dass die Theorien, über die Sie sprechen, immer Einheitlichkeit sind, wie in "weil Erhaltung der Wahrscheinlichkeit", während die euklidischen statistischen Theorien nicht immer einheitlich sind, weil Einheitlichkeit für sie Reflexionspositivität ist und nicht grundsätzlich erforderlich ist. Dies ist wichtig, da die Einheitlichkeit für das gegenwärtige Verständnis des Maßstabs von entscheidender Bedeutung ist → konform.
In Bezug auf das Ising-Modell hat das 3D-Ising-Modell (dh das darauf abzielt, den Magneten zu beschreiben, den ich in meiner Hand halte) keine S Ö ( 4 ) Symmetrie. Es hat nur S Ö ( 3 ) , und dasselbe gilt für die ϕ 4 Theorie ein dreidimensionaler Wilson-Fisher-Fixpunkt, der derselbe ist wie Ising CFT. Vielleicht ist es nur die Formulierung, über die wir uns streiten. Ich kann mir vorstellen, dass es eine Lorentz-invariante 3+1-dimensionale Feldtheorie gibt, die bei geeigneter Temperatur im IR zur Ising-CFT fließt. Aber dennoch hat das, was wir 3D-Ising-CFT nennen, keine Nonkonformität S Ö ( 4 ) .
@PeterKravchuk Entschuldigung, Sie haben absolut Recht mit dem Ising-Modell - ich habe an das Quantum Transverse Ising-Modell gedacht und völlig vergessen, das anzugeben.
Sind Phasenübergänge zweiter Ordnung immer skalen-/Lorentz-invariant?
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