Skalierungstheorie der Anderson-Lokalisierung

Aber wie hängt diese Größe mit dem ursprünglichen Problem von Anderson zusammen? Wie hängt es mit der Lokalisierung/Delokalisierung der Eigenzustände zusammen?

Nehmen wir an, wir haben ein endliches Unordnungssystem der Größe$L$und Dimension$d$in dem wir einige particule setzen. Wenn das System geschlossen ist , in dem Sinne, dass das Teilchen das System nicht verlassen kann, dann sind die möglichen Zustände an das System gebunden , sodass die Energieeigenzustände ein diskretes Spektrum bilden . Unter Berücksichtigung all dieser diskreten Eigenzustände kann man den mittleren Pegelabstand berechnen $\Delta E$Trennen jedes Eigenzustands voneinander, was der mittleren Zustandsdichte zugeordnet ist $\nu$(nach Volumeneinheit):

$$\nu=\frac{1}{\Delta E\;L^d}.\tag{1}$$ Wenn das System wiederum offen ist , kann das Teilchen das System schließlich verlassen, indem es die Grenze erreicht. Die Zeit$\tau_D$die das Teilchen benötigt, um zur Grenze zu diffundieren, wird so bestimmt, dass: $$L\sim\sqrt{D\,\tau_D}\quad\text{i.e.}\quad\tau_D\sim\frac{L^2}{D},\tag{2}$$ wo$D$ist der Diffusionskoeffizient.

Das bedeutet, dass das Teilchen durch seine Diffusion in der Unordnung nur einzelne Eigenzustände mit einer Energieauflösung auflösen kann$\delta E$so dass :

$$\delta E\,\tau_D\sim\hbar\quad\text{i.e.}\quad \delta E\sim\frac{\hbar D}{L^2}.\tag{3}$$ wo$\delta E$wird oft die „ Thouless Energie “ genannt.

Dann sagt uns das Thouless-Kriterium für die Lokalisierung [1], dass das System bei dieser Energieauflösung Anderson-lokalisiert ist$\delta E$ist viel kleiner als der mittlere Pegelabstand$\Delta E$. Allerdings in diesem Grenzfall$\delta E\ll\Delta E$, kann das Teilchen jeden der Eigenzustände auflösen und einen von ihnen für immer besetzen.

Umgekehrt, in der Grenze wo$\delta E\gg\Delta E$die unterschiedlichen Energieniveaus überlagern sich gegenseitig, was bedeutet, dass das Teilchen gekoppelt werden kann und von einem Zustand in einen anderen springt, was zu einer Diffusion in Richtung der Systemgrenze und einer Delokalisierung führt.

Nach dieser Diskussion scheint es ganz natürlich, die Menge zu definieren :

$$g=\frac{\delta E}{\Delta E}\sim\hbar D\,\nu\,L^{d-2}\tag{4}$$ als Ordnungsparameter des Anderson-Metall/Isolator-Übergangs, für den$g\gg 1$entspricht der delokalisierten/metallischen Phase, und$g\ll 1$zur lokalisierten/Isolatorphase.

An dieser Stelle könnte man argumentieren, dass die Verbindung zwischen dieser neuen Menge$g$und die übliche Leitfähigkeit$G=\sigma\,S/L\sim\sigma\,L^{d-2}$nach dem Ohmschen Gesetz ist nicht ganz klar.

Aber da die Leitfähigkeit$\sigma$und der Diffusionskoeffizient$D$sind durch die Einstein-Relation miteinander verknüpft:

$$\sigma\propto e^2\,\nu\,D\quad\text{such that}\quad G\sim e^2\,\nu\,D\,L^{d-2}\tag{5}$$ es ist tatsächlich leicht zu sehen, wenn man die Ausdrücke (4) und (5) vergleicht$g$hat keine Dimension und gibt den Leitwert an$G\sim (e^2/h)\,g$in Einheit des Leitwertquantums$e^2/h$.

Also zu den Fragen:

Ist g(L) durch den obigen Hamiltonoperator bestimmt?

Sie wird durch die spektralen Eigenschaften der Eigenzustände des Hamiltonoperators wie etwa die Zustandsdichte bestimmt$\nu$und der mittlere Ebenenabstand entsprechend der Größe$L$vom System.

oder einige weitere Parameter werden benötigt, sagen wir, die Temperatur?

Alles, was vorher gesagt wurde, war für ein System bei$T=0$. Aus Sicht des Phasenübergangs zwischen lokalisierten und diffusiven Zuständen ist die einzige relevante Information die Skalierung$g$entsprechend der größe$L$des Systems, das vollständig durch die bestimmt wird$\beta$-Funktion der sehr berühmten Skalierungstheorie der Lokalisierung.

Für diejenigen, die daran interessiert sind, in das Gebiet der Anderson-Lokalisierung einzusteigen, würde ich empfehlen, die Vorlesungsunterlagen der Les Houches School of Physics zu "Ultracold gases and quanten information" (2009) von Delande und Müller zu lesen. Meiner Meinung nach ist es eine der seltenen Referenzen, die es schaffen, Lokalisierungsphänomene in einfachen Worten einzuführen, während sie mit den Experimenten zu diesem Thema die Spur kippen.

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[1]: Eine gute Übersicht über dieses Thouless-Kriterium findet sich in Disordered electronic systems , PA Lee und TV Ramakrishnan, Rev.Mod.Phys. 57, 287 .

Wie Sie bemerkt haben, verwendet die Literatur zur Anderson-Lokalisierung mehrere unterschiedliche Definitionen der Lokalisierung, einschließlich (aber nicht beschränkt auf!):

1. Ein Übergang von erweiterten zu lokalisierten Eigenzuständen. Dies impliziert einen Wechsel von der endlichen zur Nulldiffusion eines Teilchens, das in einem bestimmten Bereich initialisiert wird.

2. Ein Übergang von endlicher Leitfähigkeit zu Null.

3. Eine Änderung in der Statistik der Verteilung der Energieeigenzustände, von einer nicht-poissonschen (häufig gaußschen) Verteilung zu Poissionschen verteilten Niveaus.

Diese Observablen entsprechen ungefähr der am einfachsten zu untersuchenden Lokalisierungssignatur für Theorie, Experiment und Numerik. Die unterschiedlichen Einschränkungen jeder dieser Arten von Untersuchungen sind der Grund, warum so viele Definitionen verwendet wurden.

Zwischen jedem dieser Begriffe der Lokalisierung besteht eine gewisse Beziehung, insbesondere im einfachsten Fall von nicht wechselwirkenden Teilchen. Lokalisierte Eigenzustände bedeuten, dass energetisch benachbarte Zustände wahrscheinlich räumlich getrennt und nahezu entkoppelt sind, was zu einer Statistik auf Poisson-Ebene führt, da eine Kreuzung kaum vermieden wird . Lokalisierte Zustände bedeuten auch, dass Partikel von Punkt zu Punkt tunneln müssen, um sich über eine Probe zu bewegen, mit vielen verschiedenen Energiefehlanpassungen, was zu einer verschwindenden Leitfähigkeit im thermodynamischen Limit führt.

Abgesehen von allgemeinen Argumenten dieser Art ist es jedoch nicht offensichtlich, dass diese Definitionen genau übereinstimmen sollten, und die Argumente, die verwendet werden, um sie in Beziehung zu setzen, sind im Allgemeinen nicht streng. Zum Beispiel behauptet das vom OP gegebene Papier mehr oder weniger einen Zusammenhang zwischen der Empfindlichkeit der Eigenzustände eines Systems gegenüber Randbedingungen, parametrisiert durch die Energieänderung$\Delta E$zwischen periodischen und antiperiodischen Randbedingungen und dem dimensionslosen Leitwert (aus der Kubo-Formel). Die Logikkette ist also ungefähr so, dass ausgedehnte gegenüber lokalisierten Zuständen zu mehr oder weniger Empfindlichkeit gegenüber Randbedingungen führen, was wiederum zu einer Leitfähigkeit führt, die im thermodynamischen Limit endlich oder Null ist. Die Beziehung zwischen diesen Größen, die in dieser Abhandlung erwähnt wird, ist etwas ausführlicher in der früheren Abhandlung von Thouless angegeben . Als Referenz lautet diese Formel, wie sie im Artikel „Gang of Four“ gezeigt wird:

$$\frac{\Delta E}{dE/dN}=\frac{2\hbar}{e^2}\sigma L^{d-2}$$

wo$dE/dN$ist der mittlere Ebenenabstand und$L$ist die Stichprobengröße. Dies kommt wahrscheinlich einer quantitativen Beziehung zwischen der Lokalisierung in Bezug auf Eigenzustände und der Lokalisierung in Bezug auf die Leitfähigkeit am nächsten. In den Worten des Autors jedoch: „Die Äquivalenz der Kubo-Greenwood-Formel und der Breite$\nu$der Verteilung von$\Delta E$wie in Ref. beschrieben. 3a ist nicht genau beweisbar.“

Die beste Referenz, die ich kenne, um diese Lokalisierungskriterien auf allgemeinere Weise zu vergleichen, ist die Rezension von Van Tiggelen, die hier zu finden ist (Paywalled, sorry). Er kommt zu dem Schluss, dass das Kriterium in Bezug auf lokalisierte Wellenfunktionen stärker ist als das Kriterium für verschwindende Diffusion, und vergleicht sie auch mit anderen Kriterien für die Lokalisierung, die ich hier nicht erwähnt habe.

Schließlich fragst du, ob$g(L)$allein durch den Hamiltonoperator bestimmt wird, oder auch die besetzten Zustände (oder die Temperatur, wenn es sich um eine thermische Verteilung handelt). Der genaue Wert von$g$sicherlich von Dingen wie der Temperatur abhängen sollte, aber die Hauptfrage, die in diesem Artikel untersucht wurde, war, ob sie im thermodynamischen Limit immer gegen Null ging. Wenn dies der Fall ist, wie sie zu dem Schluss kamen, ist dies der Fall$d=1$und$2$, dann sind alle Zustände im System lokalisiert, und es spielt keine Rolle, welche Zustände besetzt sind. In$d=3$(und darüber) gibt es eine kritische mesoskopische Leitfähigkeit$g_c$oberhalb dessen das System in der thermodynamischen Grenze leitend wird und unterhalb dessen es isolierend ist. Dies hängt davon ab, welche Zustände besetzt sind, nicht nur vom Hamilton-Operator. Dies liegt daran, dass der Hamilton-Operator einen Mobilitätsrand hat, bei dem Zustände unterhalb einer kritischen Energie lokalisiert und Zustände darüber erweitert werden.