So berechnen Sie die Abmessungen der erforderlichen 20 regelmäßigen Sechsecke und 12 regelmäßigen Fünfecke für eine Kugel mit einem bestimmten Durchmesser (die Fußballfrage)

Question

So berechnen Sie die Abmessungen der erforderlichen 20 regelmäßigen Sechsecke und 12 regelmäßigen Fünfecke für eine Kugel mit einem bestimmten Durchmesser (die Fußballfrage)

Mathematik
solide Geometrie

WILLIAMO

Ich möchte die Abmessungen der erforderlichen 20 Sechsecke und 12 Fünfecke berechnen, um eine Kugel mit einem bestimmten Durchmesser zu tesselieren (das Fußballproblem). Ich brauche die Sechsecke und Fünfecke, um ebene Figuren zu sein. Die Kugel einer gegebenen Abmessung kann beschriftet werden (alle Ecken berühren die Oberfläche) oder überbeschriftet werden (Mittelpunkte aller Formen berühren die Oberfläche). Danke

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So berechnen Sie die Abmessungen der erforderlichen 20 regelmäßigen Sechsecke und 12 regelmäßigen Fünfecke für eine Kugel mit einem bestimmten Durchmesser (die Fußballfrage)

Michael Seifert · Answer 1

Das "Fußball"-Polyeder wird formal als abgeschnittenes Ikosaeder bezeichnet . Laut diesem Wikipedia-Artikel, wenn die Seiten lang sind $a$ , dann hat die umschreibende Kugel einen Radius von

\frac{A}{2} \sqrt{1 + 9 ϕ^{2}} \approx A \cdot 2.47802...

$\frac{a}{2} \sqrt{ 1 + 9 \phi^2} \approx a \cdot 2.47802...$ Wo

ϕ = (1 + \sqrt{5}) / 2

$\phi = (1 + \sqrt{5})/2$ ist der Goldene Schnitt.

Es entsteht eine Feinheit, wenn wir versuchen, eine Kugel in dieses Polyeder einzuschreiben. Während die Scheitelpunkte alle den gleichen Abstand vom Ursprung haben, sind es die Schwerpunkte der Flächen nicht; siehe Gl. (4–5) von MathWorlds Seite auf dem abgeschnittenen Ikosaeder. Insbesondere sind die Mittelpunkte der Fünfecke ein Abstand

R_{5} = \frac{A}{2} \sqrt{\frac{125 + 41 \sqrt{5}}{10}} \approx A \cdot 2.32744...

$r_5 = \frac{a}{2} \sqrt{ \frac{125+41\sqrt{5}}{10}} \approx a \cdot 2.32744...$ vom Ursprung, während die Mittelpunkte der Sechsecke einen Abstand haben

R_{6} = \frac{A}{2} \sqrt{\frac{3 (7 + 3 \sqrt{5})}{2}} \approx A \cdot 2.26728...

$r_6 = \frac{a}{2} \sqrt{ \frac{3(7 + 3\sqrt{5})}{2}} \approx a \cdot 2.26728...$ vom Ursprung. Seit

r_{6} < r_{5}

$r_6 < r_5$ , würde die größte Kugel, die in einen Ikosaederstumpf passen würde, nur die sechseckigen Flächen berühren und die fünfeckigen Flächen nicht berühren.

Kumpel · Answer 2

Das Fußballpolytop ist ein abgeschnittener Ikosaeder. Wenn Sie diesen Begriff nachschlagen, finden Sie alles, was Sie brauchen. Beispielsweise gibt die Wikipedia-Seite die Koordinaten der Scheitelpunkte an.

So berechnen Sie die Abmessungen der erforderlichen 20 regelmäßigen Sechsecke und 12 regelmäßigen Fünfecke für eine Kugel mit einem bestimmten Durchmesser (die Fußballfrage)

WILLIAMO

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Michael Seifert

Kumpel

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