Wann ist der Schnittpunkt eines Kegels und eines Zylinders eben?

Question

Wann ist der Schnittpunkt eines Kegels und eines Zylinders eben?

Mathematik
Kegelschnitte
solide Geometrie

omir

Ich versuche, die Verbindung zwischen der algebraischen und geometrischen Interpretation der Ellipse besser zu verstehen, und ich habe mich über den Schnittpunkt eines geraden Kreiszylinders und eines geraden Kreiskegels gewundert.

Einerseits wissen wir, dass der Schnittpunkt von jedem mit einer Ebene (vorausgesetzt, die Ebene ist nicht zu schräg) eine Ellipse ist, und daher können wir die Ebenen und den Radius des Zylinders anpassen, um die gleichen Ellipsen zu erhalten, wie es möglich ist hier gesehen . Darin schließen sie, dass, wenn die Achsen von Kegel und Zylinder parallel sind und die Kegelachse in den Zylinder fällt, der Schnittpunkt eine ebene Ellipse ist.

Es funktioniert jedoch nicht, wenn es um die algebraischen Gleichungen der beiden geht:

{\begin{cases} (X - A)^{2} + j^{2} = B^{2} \\ X^{2} + j^{2} = C z^{2} \end{cases}

$\begin{cases} (x-a)^2 + y^2 = b^2\\ x^2 + y^2 = cz^2 \end{cases}$

durch Einsetzen des zweiten in das erste erhalten wir $2ax=cz^2+a^2-b^2$ , was die Gleichung eines parabolischen Zylinders ist. (Der Fall für $a=0$ ergibt einen Kreis, und es ist eine Art triviale Lösung).

Welcher Ansatz ist der richtige, was ist falsch am anderen?

Sergej Zaitsev

Können wir überlegen

a = 0

$a=0$ ? In diesem Fall ist der Schnittpunkt ein Kreis. Wir können nicht einfach eine Gleichung durch eine andere ersetzen und die erste verschwinden lassen. Wir müssen das System aus zwei Gleichungen in ein anderes System aus ebenfalls zwei Gleichungen umwandeln

omir

Der Fall wo

a = 0

$a=0$ ist eine Art triviale Lösung, nach der ich suche, wenn der Schnittpunkt eine Ellipse mit ist

e > 0

$e>0$ . Und da jeder Punkt auf dem Schnittpunkt beide Gleichungen wahr macht, macht er auch die dritte. Aufgrund der Symmetrie kann der Schnittpunkt 'von der Seite' gesehen werden

z (x)

$z(x)$ , das ist das dritte.

Intelligente pauca

Kegel und Zylinder müssen auch die Bedingungen II und III in diesem Artikel erfüllen: Ich denke nicht, dass es ausreicht, parallele Achsen zu haben.

Papst

In der Tat,

a = 0

$a=0$ würde überhaupt nicht zu einer Lösung führen, oder? Dieser Schnittpunkt wäre nicht ein Kreis, sondern zwei Kreise in den parallelen Ebenen von

c z^{2} - b^{2} = 0

$cz^2-b^2=0$ . Das setzt voraus

b \neq 0

$b\ne0$ Und

c > 0

$c\gt0$ . Ohne diese Bedingungen hätten wir keinen Kegel und keinen Zylinder.

Jan-Magnus Økland

Der Schnittpunkt, den Sie fast immer erhalten, ist eine (nicht-planare) irreduzible glatte Kurve der Gattung Eins, die wie zwei Ovale über den Realen und wie ein Torus über den Komplexen aussieht und nur reduziert werden kann, wenn es sich um zwei (jeweils aber nicht als union planare) Kreise handelt

a = 0.

$a=0.$

Antworten (4)

Wann ist der Schnittpunkt eines Kegels und eines Zylinders eben?

Können wir überlegen $a=0$ ? In diesem Fall ist der Schnittpunkt ein Kreis. Wir können nicht einfach eine Gleichung durch eine andere ersetzen und die erste verschwinden lassen. Wir müssen das System aus zwei Gleichungen in ein anderes System aus ebenfalls zwei Gleichungen umwandeln
Der Fall wo $a=0$ ist eine Art triviale Lösung, nach der ich suche, wenn der Schnittpunkt eine Ellipse mit ist $e>0$ . Und da jeder Punkt auf dem Schnittpunkt beide Gleichungen wahr macht, macht er auch die dritte. Aufgrund der Symmetrie kann der Schnittpunkt 'von der Seite' gesehen werden $z(x)$ , das ist das dritte.
Kegel und Zylinder müssen auch die Bedingungen II und III in diesem Artikel erfüllen: Ich denke nicht, dass es ausreicht, parallele Achsen zu haben.
In der Tat, $a=0$ würde überhaupt nicht zu einer Lösung führen, oder? Dieser Schnittpunkt wäre nicht ein Kreis, sondern zwei Kreise in den parallelen Ebenen von $cz^2-b^2=0$ . Das setzt voraus $b\ne0$ Und $c\gt0$ . Ohne diese Bedingungen hätten wir keinen Kegel und keinen Zylinder.
Der Schnittpunkt, den Sie fast immer erhalten, ist eine (nicht-planare) irreduzible glatte Kurve der Gattung Eins, die wie zwei Ovale über den Realen und wie ein Torus über den Komplexen aussieht und nur reduziert werden kann, wenn es sich um zwei (jeweils aber nicht als union planare) Kreise handelt $a=0.$

Intelligente pauca · Answer 1

Wie Sie richtig festgestellt haben, liegt der Schnittpunkt eines Kegels und eines Zylinders mit parallelen Achsen auf einem parabolischen Zylinder, dessen Achse senkrecht auf den Achsen von Kegel und Zylinder steht. Dies schließt einen ebenen Schnitt aus, abgesehen vom trivialen Fall $a=0$ .

Blau · Answer 2

In dieser Antwort leite ich eine Formel für die Exzentrizität einer Ellipse in Bezug auf Winkel ab, die von der Oberfläche des Kegels und der Schnittebene mit einer "horizontalen" Ebene (senkrecht zur Achse) gebildet werden. Ergänzend (zur einfacheren Beschreibung hier) können wir die Formel wie folgt umformulieren

\begin{matrix} (1) & e = \frac{\cos θ}{\cos ϕ} \end{matrix}

$e = \frac{\cos\theta}{\cos\phi} \tag1$ Wo

ϕ

$\phi$ ist der Winkel, der von (einem Generator von) dem Kegel und seiner Achse gebildet wird, und

θ

$\theta$ ist der (nicht stumpfe) Winkel, der von der Schnittebene (oder genauer gesagt der Hauptachse des Kegels) und der Kegelachse gebildet wird. Es ist leicht zu zeigen, dass für den Fall eines Zylinders die entsprechende Relation mit dem Setzergebnis übereinstimmt

ϕ = 0

$\phi=0$ (und schreiben

θ^{'}

$\theta'$ zu unterscheiden

θ

$\theta$ ):

\begin{matrix} (2) & e = \cos θ^{'} \end{matrix}

$e = \cos\theta' \tag2$ Wenn also ein Kegel und ein Zylinder einen ebenen (also elliptischen) Schnittpunkt haben, dann bildet die Hauptachse der Ellipse Winkel

θ

$\theta$ Und

θ^{'}

$\theta'$ mit ihren jeweiligen Achsen, so dass

\begin{matrix} (3) & \cos θ^{'} = \frac{\cos θ}{\cos ϕ} \end{matrix}

$\cos\theta'=\frac{\cos\theta}{\cos\phi} \tag3$ Daher können wir für jede Ebene, die einen Kegel in einer Ellipse schneidet, einen geeigneten Zylinder finden, der die Ellipse als Schnittpunkt hat. (Technisch gesehen kann die Ellipse nur ein Teil der gesamten Schnittmenge sein.) Wissen

ϕ

$\phi$ Und

θ

$\theta$ , wir gebrauchen

(3)

$(3)$ finden

θ^{'}

$\theta'$ . (Hinweis: Da das Flugzeug den Kegel in einer Ellipse schneidet, wissen wir es

1 > e = \cos θ^{'}

$1>e=\cos\theta'$ so dass

θ^{'}

$\theta'$ ist definiert.) Dieser Winkel bestimmt die Achse des Zylinders durch den Mittelpunkt der Ellipse; eigentlich z

θ^{'} \neq π / 2

$\theta'\neq \pi/2$ , haben wir zwei Möglichkeiten für diese Achse. Der Radius des gewünschten Zylinders ist notwendigerweise der kleinere Radius der Ellipse. Im Allgemeinen gibt es also zwei Familien von Konfigurationen (im Wesentlichen parametrisiert durch

θ

$\theta$ und ein Skalierungsfaktor und die Wahl der Zylinderachse) von Kegeln und Zylindern mit (teilweise) ebenem Schnittpunkt, ohne dass der Kegel und der Zylinder parallele Achsen haben müssen.

Das heißt, in dem besonderen Fall, in dem Kegel und Zylinder parallele Achsen haben $\theta=\theta'$ . Vorausgesetzt $\phi\neq 0$ (der Kegel ist nicht entartet), dann ist das nur so zu befriedigen $(3)$ ist mit $\cos\theta=\cos\theta'=0=e$ : Der Schnittpunkt ist ein Kreis. Offensichtlich fällt die Achse des Zylinders notwendigerweise mit der des Kegels zusammen. Eine "Offset"-Konfiguration ( $a\neq 0$ in der Frage) ist ungültig und bestätigt die in anderen Antworten gemachten Schlussfolgerungen.

David K · Answer 3

Der Fehler in der Arbeit tritt in der allerersten Gleichung auf. In der Tat,

B \neq \frac{R + R}{2} .

$b \neq \frac{r + R}{2}.$

Die Nebenachse der Ellipse liegt in einer Ebene in der Mitte zwischen der Ebene des Radiuskreises $r$ und die Ebene des Radiuskreises $R,$ und diese Ebene schneidet den Kegel in einem Radiuskreis $(r + R)/2.$ Aber die Nebenachse der Ellipse ist kein Durchmesser dieses Kreises. Der Mittelpunkt der Ellipse ist entfernt $(R - r)/2$ aus der Mitte des Kreises. Deshalb

B^{2} = {(\frac{R + R}{2})}^{2} - {(\frac{R - R}{2})}^{2} = R R .

$b^2 = \left(\frac{r + R}{2}\right)^2 - \left(\frac{R - r}{2}\right)^2 = rR.$

Das ist, $b = \sqrt{rR},$ So $b$ ist das geometrische Mittel von $r$ Und $R$ , nicht ihr arithmetisches Mittel.

Darüber hinaus wissen wir aus dieser Antwort , dass eine gegebene Ellipse durch einen Kegel erzeugt werden kann, dessen Spitze irgendwo auf einer bestimmten Hyperbel in einer Ebene senkrecht zur Ebene der Ellipse liegt, und dass die Achse des Kegels die Hyperbel berühren muss. Der Winkel, den die Achse mit der Ebene der Ellipse bildet, variiert daher je nachdem, welcher Punkt auf der Hyperbel der Scheitelpunkt ist. Andererseits gibt es genau zwei Zylinder, deren Schnittpunkt mit der Ebene die gegebene Ellipse ist, und der Winkel, den die Achse eines dieser Zylinder mit der Ebene bildet, wird durch das Verhältnis bestimmt $a/b.$

Bei einem Kegel, der eine Ebene in einer Ellipse schneidet, ist im Allgemeinen die Achse des Zylinders, der dieselbe Ebene in derselben Ellipse schneidet, nicht parallel zur Achse des Kegels. Der Zylinder ist der Grenzfall eines Kegels, der von einem Punkt auf der Hyperbel erzeugt wird, der sehr weit von der Ebene entfernt ist. Der Winkel zwischen der Kegelachse und der Zylinderachse kann sich nähern, ist aber nie ganz gleich Null.

Kumpel · Answer 4

Der Schnittpunkt zweier quadratischer Flächen (einschließlich Kegel und Zylinder) ist eben, wenn und nur sie eine gemeinsame dritte Quadrik berühren. Bei Zylindern und Kegeln wird diese dritte Quadrik immer eine Kugel sein, denke ich. Mehr hier .

Wann ist der Schnittpunkt eines Kegels und eines Zylinders eben?

omir

Sergej Zaitsev

omir

Intelligente pauca

Papst

Jan-Magnus Økland

Antworten (4)

Intelligente pauca

Blau

David K

Kumpel

Welche Werte ergeben die minimale Fläche der Ellipse?

Von einem Punkt auf einem gegebenen Kreis werden Tangenten an die Ellipse gezogen. Es muss der Ort des Kontaktakkords gefunden werden.

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