Stabilität von Gleichgewichtspunkten

Hier ist die Mathematik. Angenommen, Sie haben eine Gleichung der Form

$$\ddot\theta +\alpha\theta = 0$$ Wenn $\alpha <0$, dann können wir schreiben $\alpha = -\omega^2$für einige $\omega >0$und die allgemeine Lösung wird $$\theta(t) = Ae^{\omega t} + Be^{-\omega t}$$ Beachten Sie insbesondere, dass diese Lösungen nicht schwingen. Tatsächlich explodiert die Lösung exponentiell als Funktion von $t$. Betrachten Sie beispielsweise die folgenden Anfangsbedingungen: $$\theta(0) = 0, \qquad \dot\theta(0) = \omega_0$$ dann bekommen wir $$A+B = 0, \qquad A-B=\frac{\omega_0}{\omega}$$ und die Lösung wird $$\theta(t) = \frac{\omega_0}{\omega}\frac{e^{\omega t} - e^{-\omega t}}{2}$$ Beachten Sie insbesondere, dass egal wie klein die Anfangsgeschwindigkeit ist $\dot\theta(0) = \omega_0$ist, hat die Lösung die Eigenschaft, dass $\theta(t)$verlässt die Nachbarschaft $\theta(0)$für ausreichend groß $t$.

Andererseits, wenn$\alpha >0$, dann ist die Gleichung, die wir lösen wollen, einfach die Gleichung für einfache harmonische Bewegung mit oszillatorischen Lösungen, die für alle Zeiten in der Nähe der Ausgangsposition bleiben.

Stellen Sie sich das so vor: Wenn die Beschleunigung in positiver Theta-Richtung liegt, wenn Theta positiv ist, läuft das System davon und wird instabil.

Wenn die Beschleunigung in der entgegengesetzten Richtung des Vorzeichens von Theta ist, wird das System zum Ursprung zurückgetrieben und ist somit stabil.