Stabilität von Photonenbahnen

Die Existenz homokliner (Null-)Orbits hängt davon ab, wie das dynamische System formuliert ist. Insbesondere die Wahl des Parameters entlang der Umlaufbahn ist von Bedeutung. Wenn wir einen affinen Parameter nehmen würden$\lambda$entlang der Umlaufbahn dann jede Nullbahn, die asymptotisch ist$r=3M$(von oben) als$\lambda\to -\infty$wird dazu neigen$r=\infty$als$\lambda\to \infty$. Dh es existieren keine homoklinen Bahnen.

Wenn wir jedoch einen alternativen (nicht-affinen) "Zeit"-Parameter einführen$\tilde{\lambda}$bezüglich$\lambda$von

$$\frac{d\tilde{\lambda}}{d\lambda} = \frac{L}{r^2},$$

Wo$L$der Drehimpuls des Teilchens ist (dies ist eine affine Version des bekannten Mino-Zeitparameters), und wir führen die Koordinate ein$x := M/r$dann die Bewegungsgleichung für$x$wird von gegeben

$$\left(\frac{dx}{d\tilde{\lambda}}\right)^2 = \frac{M^2E^2}{L^2} - x^2(1+2x).$$

Für$\frac{M^2E^2}{L^2}=1/27$, dies hat als Lösung,

$$x = \frac{1}{2}\tanh^2 \frac{\tilde{\lambda}}{2}-\frac{1}{6}.$$

Dies ist eine homokline Umlaufbahn, die zum Lichtring hin zustrebt$x=1/3$für$\tilde{\lambda}\to \pm\infty$. Es hat auch einen Mindestwert von$x=-1/6$bei$\tilde{\lambda}=0$. Dieser letzte Teil dient der Beantwortung der zweiten Hälfte der Frage. Die homokline Umlaufbahn verbindet sich zurück zum Gleichgewichtspunkt, indem sie "durch" die Unendlichkeit geht (dh$x=0$) negativ$x$Region und Rückkehr zum Positiven$x$Region. Es sollte beachtet werden, dass dies negativ ist$x$Region "jenseits der Unendlichkeit" entspricht keiner physikalischen Region der Raumzeit, sondern ist nur ein formales mathematisches Konstrukt.

Update: Obwohl die Einführung von$x$ist bequem. Es ist nicht erforderlich. Man kann auch nach homoklinen Bahnen suchen, die dazu neigen$r=3M$von unten. Diese existiert und ist gegeben durch:

$$r = 6M\frac{\sinh^2\frac{\tilde{\lambda}}{2}}{2+\cosh\tilde{\lambda}}$$

Die Einführung eines alternativen Zeitparameters erscheint jedoch unerlässlich.