Stationäre Lösungen

Hier ist ein Zitat aus Abschnitt 10.2 von „Ein erster Kurs in der allgemeinen Relativitätstheorie“ von Schutz:

Wir definieren eine statische Raumzeit als eine, in der wir eine Zeitkoordinate finden können$t$mit zwei Eigenschaften: (i) alle metrischen Komponenten sind unabhängig von$t$, und (ii) die Geometrie durch Zeitumkehr unverändert bleibt,$t \rightarrow -t$.

...

(Eine Raumzeit mit der Eigenschaft (i), aber nicht notwendigerweise (ii), wird als stationär bezeichnet .)

Also deine Aussage

Dann heißt ϕ stationäre Lösung oder stationärer Zustand, wenn alle t Ableitungen von ϕ Null sind.

scheint sicherlich mit Schutz's Beschreibung von stationär übereinzustimmen.

Ich denke, Wikipedia hat eine ziemlich gute Definition dafür:

Ein stationärer Zustand wird als stationär bezeichnet, weil ein Teilchen im Laufe der Zeit auf jede beobachtbare Weise im selben Zustand bleibt.

Das bedeutet, dass jede beobachtbare Größe, die aus dem Zustand berechnet werden kann, zeitlich konstant ist.

In der klassischen Mechanik ist das ziemlich trivial, weil der Zustand nur durch die Positionen und Geschwindigkeiten (oder Impulse) aller Teilchen im System gegeben ist. Mit anderen Worten, der Zustand ist selbst eine beobachtbare Größe, und daher ist, wie Sie sagten, ein stationärer Zustand notwendigerweise konstant. In der klassischen Mechanik ist der Begriff „stationärer Zustand“ jedoch nicht besonders gebräuchlich.

Wo es wirklich nützlich wird, ist in der Quantenmechanik. Dabei ist der Zustand mehr als nur Position und Impuls. Ein Quantenzustand enthält einige nicht beobachtbare Informationen, und diese Informationen können sich im Laufe der Zeit ändern, selbst wenn alle beobachtbaren Größen konstant sind. In der Quantenmechanik bedeutet „stationärer Zustand“ also nicht alles$t$Ableitungen des Zustands sind Null. Das korrekte mathematische Kriterium ist, dass diese Zustände Eigenzustände des Hamiltonoperators sind,$H\lvert\psi\rangle \propto \lvert\psi\rangle$.

Unabhängig von der Interpretation einer Differentialgleichung gilt:

Eine stationäre Lösung einer autonomen Differentialgleichung$F(y(t),\dot y(t))=0$(nicht explizit zeitabhängig) ist eine Lösung, die nicht zeitabhängig ist.

Die stationären Lösungen sind also genau die Lösungen der Form$y(t)=y_0$, Wo$y_0$löst die nichtlineare Gleichung$F(y_0,0)=0$. Höhere Ableitungen als die in der Differentialgleichung braucht man nicht zu betrachten, obwohl bei einer konstanten Lösung natürlich alle Ableitungen Null sind).

Für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung$F(y(t),\dot y(t),\ddot y(t))=0$die entsprechende Bedingung an$y_0$Ist$F(y_0,0,0)=0$.