Stress-Energie-Spur des masselosen Klein-Gordon-Feldes

Das Klein-Gordon-Feld, wie Sie es geschrieben haben, ist eigentlich nicht konform invariant$D\neq 2$. (Klassisch ist es skaleninvariant, aber es ist nicht Weyl-invariant. Quantenmechanisch ist sogar die Skaleninvarianz gebrochen.).

Um eine konforme Feldtheorie zu erhalten, müssen Sie die sogenannte "konforme Kopplung" an die Gravitation einbeziehen. Dies wird die Anzahl der Freiheitsgrade in Ihrer Theorie ändern – weil Sie gezwungen sind, die Schwerkraft einzubeziehen. Sie haben also zwei Möglichkeiten: (1) Akzeptieren Sie, dass ein Klein-Gordon-Feld um einen festen Minkowski-Hintergrund auf klassischer Ebene nicht konform invariant ist, oder (2) schauen Sie sich eine andere physikalische Theorie an, das an die Schwerkraft gekoppelte KG-Feld, das sich zeigen wird die konforme Symmetrie.

Mit dieser Einschränkung. In$D$Dimensionen, ein konform gekoppeltes Skalarfeld ist gegeben durch (unter Verwendung einer Signaturkonvention "meistens plus")

$$\begin{equation} S = \int d^D x \sqrt{-g} \left(-\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{D-2}{8(D-1)}R \phi^2 \right) \end{equation}$$

Der letzte Term trägt zum Spannungsenergietensor für bei$\phi$(berechnet mit$T_{\mu\nu}=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu }}$):

$$\begin{equation} T_{\mu\nu} = \partial_\mu\phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} (\partial \phi )^2 + \frac{D-2}{4(D-1)} \left(g_{\mu\nu} \square (\phi^2) - \nabla_\mu \nabla_\nu (\phi^2) \right) \end{equation}$$

Der letzte Begriff ist entscheidend zu bekommen$T=0$, Sie sehen also, dass die Theorie ohne diese spezielle Kopplung nicht konform ist.

Jetzt könnten Sie naiv denken, dass Sie den Term der konformen Kopplung ignorieren können, da Sie im Minkowski-Raum arbeiten. Das ist nicht so! Zum einen können Sie sehen, dass eine explizite Berechnung gezeigt hat, dass die konforme Kopplung zu einem Beitrag geführt hat, der um den Minkowski-Raum herum nicht verschwindet.

Die grundlegende zugrunde liegende Physik ist, dass eine Weyl-Transformation die Metrik ändert. Also auch wenn man mit einer flachen Minkowski-Metrik anfängt$R=0$, im Allgemeinen wird die Metrik nach einer konformen Transformation gekrümmt. Explizit nach Durchführung einer Transformation

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} \rightarrow e^{2\omega (x) } g_{\mu\nu} \end{equation}$$

der Ricci-Skalar transformiert sich als

$$\begin{equation} R \rightarrow R + 2(D-1)\square \omega - (D-1)(D-2) (\partial \omega)^2 \end{equation}$$

Insbesondere auch wenn$R=0$ursprünglich wird es nach einer Weyl-Transformation generisch eine Nicht-Null geben$R$.

Das Skalarfeld im Allgemeinen muss also die Krümmung der Metrik kennen, um diese Transformation zu kompensieren. Es gibt eine ganz besondere, wundersame Absage, die in auftritt$D=2$das erlaubt, diese Tatsache zu ignorieren.

Referenz: http://folk.uio.no/ingunnkw/art/blackholes.pdf