SU(3)SU(3)SU(3) irreduzible Darstellungen mit Tensormethode

Da diese Frage wie eine Hausaufgabe aussieht, fassen wir uns etwas kurz. Die Notizen von OP beschreiben anscheinend die Symmetrie des entsprechenden Young-Diagramms für jeden$SU(3)$irrep. Jedes Kästchen entspricht einem Index. Grob gesagt sind Indizes in derselben Zeile (Spalte) jeweils symmetrisch (antisymmetrisch).

Beispiele:

1. Eine einzige Kiste$[~~]$entspricht der fundamentalen irrep${\bf 3}$.

2. Zwei Boxen übereinander$\begin{array}{c} [~~]\cr [~~] \end{array}$ist die antifundamentale irrep$\bar{\bf 3}$wenn wir mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols dualisieren $\epsilon^{ijk}$. Hier passen wir die Vorzeichenkonvention an$\epsilon^{123}=1=\epsilon_{123}$.

3. Das Tensorprodukt${\bf 3}\otimes{\bf 3}\cong\bar{\bf 3}\oplus{\bf 6}_S$entspricht

   $$[~~]\quad\otimes\quad[a]\quad\cong\quad\begin{array}{c} [~~]\cr [a] \end{array}\quad\oplus\quad\begin{array}{rl} [~~]&[a] \end{array}$$
   oder$T^{ij}=\epsilon^{ijk}A_k+S^{ij}$, Wo$A_k:=\frac{1}{2}T^{ij}\epsilon_{ijk}$.

4. Das Tensorprodukt$\bar{\bf 3}\otimes{\bf 3}\cong{\bf 1}\oplus{\bf 8}_M$entspricht

   $$\begin{array}{c} [~~]\cr [~~] \end{array}\quad\otimes\quad[a]\quad\cong\quad\begin{array}{c} [~~]\cr [~~]\cr [a] \end{array}\quad\oplus\quad\begin{array}{rl} [~~]&[a]\cr [~~] \end{array}$$ oder$T^i{}_j=S\delta^i_j+M^i{}_j$, Wo$S:=\frac{1}{3}T^i{}_i$, Und${\rm Tr}M=0$.

5. Das Tensorprodukt${\bf 6}_S\otimes{\bf 3}\cong{\bf 8}_M\oplus{\bf 10}_S$entspricht

   $$\begin{array}{rl} [~~]& [~~] \end{array}\quad\otimes\quad[a]\quad\cong\quad\begin{array}{rl} [~~]&[~~]\cr [a] \end{array}\quad\oplus\quad\begin{array}{rcl} [~~]& [~~] & [a] \end{array}$$ oder$T^{ij,k}=\left\{M^{i}{}_{\ell}\epsilon^{\ell jk}+(i\leftrightarrow j)\right\} +S^{ijk}$, Wo$M^i{}_{\ell}:=\frac{1}{3}T^{ij,k}\epsilon_{jk\ell}$, Und${\rm Tr}M=0$.

Verweise:

1. H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 1999, Abschnitt 13.2.

2. JJ Sakurai, Moderne Quantenmechanik, 1994, Abschnitt 6.5.

Da die akzeptierte Antwort das Problem aus der Sicht von Young-Diagrammen behandelt und ich selbst einige Probleme mit Tensormethoden hatte, halte ich es für sinnvoll, hier den Tensoransatz hinzuzufügen.

Gemischt antisymmetrisch

Über die Bedeutung von$MA$, erinnere dich daran$SU(3)$Darstellungen können in Begriffen von "oben symmetrisierten Indizes" und "unten symmetrisierten Indizes" charakterisiert werden (siehe zum Beispiel den Anfang von Kapitel V.2 von Zee's Group Theory in a Nutshell for Physicists ). In anderen Welten, während$(𝑇^𝑖_𝑗−\frac{1}{3}𝛿^i_j 𝑇^k_k)$nur zwei Indizes hat, könnten wir auch den unteren Index mit einem Levi-Civita-Symbol erhöhen und so erhalten$(𝑇^𝑖_𝑗\epsilon^{jkl} −\frac{1}{3}\epsilon^{ikl}𝑇^k_k)$, die nun in zwei Indizes explizit antisymmetrisch ist. Die Lektion hier ist, dass in$SU(3)$, dank der besonderen Existenz eines Levi-Civita-Symbols mit drei Indizes können wir jeden Tensor in Form von Tensoren mit symmetrischen Indizes schreiben, die diese „oben“ oder „unten“ sind.

Rechnen$3 \otimes 6_S$

Lassen Sie uns dann fortfahren, Tensormethoden zu verwenden, um das Tensorprodukt der Darstellungen zu schreiben. Wir haben hier einen Vektor$q^i$Transformation in die fundamentale Darstellung,$3$, und ein symmetrischer Tensor$S^{jk}$Verwandlung in die$6_S$Darstellung. Wie Sie bemerkt haben, verwandelt sich ein Objekt in die$3 \otimes 6_S$Darstellung verwandelt sich als$q^i S^{jk}$. Da die Darstellungen von$SU(3)$durch symmetrische Tensoren mit Indizes oben oder unten gekennzeichnet sind, wird unser Ziel sein, die antisymetrischen Teile in jeder Indexkombination zu trennen.

Wir können die Indizes von nicht antisymmetrisieren$S_{jk}$, da es sich um einen symmetrischen Tensor handelt. Es bleibt uns übrig, den Index von zu antisymmetrisieren$q^i$mit jedem der Indizes von$S_{jk}$. Daher verwenden wir das Levi-Civita-Symbol, um zu erhalten

Die Koeffizienten werden so gewählt, dass der letzte Term in den drei Indizes vollständig symmetrisch ist. Eine andere Möglichkeit wäre den Ansatz zu picken$S^{ijk} = q^i S^{jk} - a\epsilon^{ijl}\epsilon_{lmn}q^mS^{nk} - b\epsilon^{ikl}\epsilon_{lmn}q^mS^{jl}$und die Bedingung stellen, dass$S^{ijk}$in allen Indizes symmetrisch ist, um die korrekten Koeffizienten zu erhalten.

Entweder, jetzt ist der erste Term symmetrisch unter$j \leftrightarrow k$und hat keine bestimmte Symmetrie, wenn$i$gilt als. Der letzte Term entspricht einem vollsymmetrischen Tensor, der hat$10$unabhängige Komponenten, d.h. es ist a$10_S$. Daher hat der erste Term$8$unabhängige Komponenten und entspricht folglich einer$8_{MS}$, Die$MS$kommt von gemischter Symmetrie.

Verweise

1. A. Zee, Gruppentheorie auf den Punkt gebracht für Physiker (Princeton University Press: Princeton, 2016). Kapitel V.2.