Was ist an deiner Antwort falsch?

Ich werde eine Antwort schreiben, in der ich erkläre, warum Ihre Lösung falsch ist, da ich nicht glaube, dass ein Kommentar ausreichen würde. Zuerst werde ich eine Variablenänderung vornehmen. Sie haben die Variable verwendet$r$bezieht sich auf den Abstand von der Achse des Zylinders. Ich fühle mich wohler, wenn ich das Symbol verwende$x$für diese Variable, also werde ich das tun. Der Grund, warum ich mich mit dieser Wahl wohler fühle, ist, dass Sie nicht über zylindrische Schalen mit Radius integrieren$r$; Sie integrieren über konstanten Flächen$x$.

Wie auch immer, schauen wir uns an, was du getan hast. Ihre Gleichung

$$dV = 2L \sqrt{R^2-x^2}dx$$ ist richtig. Das ist bisher großartig.

Die nächste Gleichung, die ich mir ansehen möchte, ist

$$dm = \frac{2M}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}dx.$$

Beachten Sie, dass Sie die vergessen haben$dx$in Ihrer ursprünglichen Frage, aber es ist offensichtlich, dass Sie das gemeint haben. Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, was diese Gleichung bedeutet. Es bedeutet, dass die Masse in der Oberfläche konstant ist$x$von Breite$dx$ist der$dm$durch die Gleichung gegeben. Diese Gleichung ist auch völlig in Ordnung, aber sie ist nicht so nützlich, wie Sie denken.

Ich habe ein Problem mit deiner nächsten Gleichung. Ihre nächste Gleichung ist

$$I = \frac{2M}{\pi R^2}\int x^2 \sqrt{R^2-x^2}dx.$$

Der Grund, warum ich ein Problem mit dieser Gleichung habe, ist, dass sie wirklich sagt$I=\int x^2 dm /M$, aber natürlich wissen wir, dass es eine sein sollte$r$statt ein$x$:$I=\int r^2 dm /M$. Der Grund, warum diese Unterscheidung wichtig ist, liegt darin, dass Ihre Oberflächen konstant sind$x$sind keine konstanten Flächen$r$. Jetzt können wir dieses Problem nicht einfach durch Schreiben beheben

$$I = \frac{2M}{\pi R^2}\int r^2 \sqrt{R^2-x^2}dx$$

weil jede Oberfläche konstant ist$x$ist nicht wohldefiniert$r$: der Teil der Oberfläche nahe der Oberfläche des Zylinders hat$r=R$, aber der Teil in der Mitte der Oberfläche hat$r=x$. Das obige Integral ergibt also keinen Sinn.

Der richtige Weg, um die Antwort zu erhalten

Es gibt dann zwei Möglichkeiten, die Antwort zu finden. Eine Möglichkeit besteht darin, das Integral einfach in rechtwinkligen Koordinaten zu schreiben, und die andere Möglichkeit besteht darin, den Parallelachsensatz zu verwenden, um das Trägheitsmoment jeder konstanten Oberfläche zu finden$x$und die Integration über Konstante$x$.

Erster Weg zur Antwort

Schauen wir uns zuerst die erste Methode an. Für das Trägheitsmoment erhalten wir folgenden Ausdruck:

$$I = \frac{M}{\pi R^2}\int^R_{-R} \int^\sqrt{R^2-x^2}_{-\sqrt{R^2-x^2}} (x^2+y^2) dy\,dx$$

Wenn Sie das innere Integral machen, erhalten Sie

$$\begin{equation} \begin{aligned} I &= \frac{2M}{\pi R^2}\int^R_{-R} \left(\frac{4}{3} R^2 + \frac{2}{3}x^2 \right) \sqrt{R^2-x^2} dx \\ &=\frac{1}{3} \frac{2M}{\pi R^2}\int^R_{-R}R^2\sqrt{R^2-x^2} dx+\frac{2}{3} \frac{2M}{\pi R^2}\int^R_{-R}x^2\sqrt{R^2-x^2} dx \end{aligned} \end{equation}$$

Nun hast du in deiner Frage bereits das Integral im zweiten Term ausgewertet. Das Integral im ersten Term ist einfach, weil es nur die Fläche eines Halbkreises ist. Also bekommen wir

$$\begin{equation} \begin{aligned} I &= \frac{1}{3} \frac{2M}{\pi R^2} R^2 \pi R^2/2 +\frac{2}{3} \frac{M R^2}{4} \\ &= MR^2/2 \end{aligned} \end{equation}$$

Zweiter Weg, um die Antwort zu bekommen

Sehen wir uns nun den zweiten Weg an, um die Antwort zu erhalten. Dieses Mal werden wir nur das Trägheitsmoment jeder konstanten Oberfläche berechnen$x$und addiere sie. Wir konnten in einer Tabelle das Trägheitsmoment eines Rechtecks ​​der Breite finden$2\sqrt{R^2-x^2}$und Masse$dm$etwa sein Massenmittelpunkt ist$\frac{1}{3} dm \left(R^2-x^2\right).$Aber wir interessieren uns mehr für das Trägheitsmoment über den Ursprung, wenn diese Oberfläche konstant ist$x$ist um eine Strecke verschoben$x$vom Ursprung. Unter Verwendung des Parallelachsensatzes finden wir, dass das Trägheitsmoment ist$\frac{1}{3} dm \left(R^2-x^2\right) + dm x^2$. Dabei ist das Trägheitsmoment jeder Fläche konstant$x$. Wenn wir diese zusammenzählen, erhalten wir das Gesamtträgheitsmoment:

$$I = \int dI = \int \frac{1}{3} dm \left(R^2-x^2\right) + dm x^2 = \int \frac{1}{3} R^2 dm + \frac{2}{3} x^2 dm.$$

Setzen Sie nun unseren Ausdruck for ein$dm$, das verstehen wir

$$dI = \frac{2M}{\pi R^2} \int_{-R}^R \frac{1}{3} R^2 \sqrt{R^2-x^2} + \frac{2}{3} x^2 \sqrt{R^2-x^2} dx.$$

Dies ist derselbe Ausdruck, den wir von der ersten Methode zur Berechnung des Trägheitsmoments erhalten haben. Das wird uns also die richtige Antwort geben. Außerdem können wir sehen, dass die$y$Das Integral der ersten Methode gab uns nur das Trägheitsmoment jeder konstanten Oberfläche$x$.

Ich sollte hinzufügen, dass der einfachste Weg, das Trägheitsmoment zu erhalten, darin besteht, über Konstantenflächen zu integrieren$r$(Wo$r$ist der Abstand von der Achse des Zylinders. Du bekommst das$dI = r^2 dm$Wo$dm = \frac{M}{\pi R^2} 2 \pi r dr.$Also dann bekommst du$I = \int dI = \frac{M}{\pi R^2}\int_0^R r^2 2 \pi r dr = \frac{2 M}{R^2} \int_0^R r^3 dr = MR^2 /2$

Angenommen, die Länge des Zylinders ist$L$, ist der Radius des Querschnitts$R$. Wir wählen Zylinderkoordinaten, um die Frage zu lösen.

Das Trägheitsmoment ist das,

$$I=\int s^2dm,$$ und wir nehmen an, dass die Dichte konstant ist, haben wir $$I=\int s^2 \rho dv.$$ In zylindrischen Koordinaten, $dv=sds\;dz\;d\theta$, also bekommen wir, $$\begin{align} I&=\rho\cdot \int\int\int s^2\cdot sds\;dz\;d\theta \\& =\rho\int_0^R s^3ds\int_0^Ldz\int_0^{2\pi}d\theta \\ & =\rho\cdot 2\pi \cdot L\cdot \frac{R^4}{4} \\ & =\frac{ \rho \pi R^4L}{2} .\end{align}$$

Dann tauschen wir aus$\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 L}$in die obige Gleichung haben wir

$$\begin{align} I&=\frac{M}{\pi R^2 L} \cdot \frac{\pi R^4 L}{2} \\ & =\frac{1}{2}MR^2. \end{align}$$