Transformationseigenschaften des Kreuzprodukts

Question

Transformationseigenschaften des Kreuzprodukts

Rindler98

In Goldsteins Klassischer Mechanik das Kreuzprodukt $\mathbf{V}^{*}$ von zwei Vektoren $\mathbf{D}$ Und $\mathbf{F}$ , mit Komponenten $D_i$ Und $F_i$ bezüglich eines kartesischen Bezugsrahmens jeweils als Vektor mit Komponenten definiert

v_{ich}^{*} = D_{J} F_{k} - D_{k} F_{J}, ich, J, k in zyklischer Reihenfolge.

$V_i^{*}=D_jF_k-D_kF_j,\qquad\text{$i,j,k$ in cyclic order.}$ Diese Definition impliziert, dass die Richtung von

V^{*}

$\mathbf{V}^{*}$ hängt jedoch von der Händigkeit des verwendeten Referenzrahmens ab, während in den meisten elementaren Behandlungen der Vektoralgebra das Kreuzprodukt als Vektor mit einer wohldefinierten Richtung unabhängig von jedem Referenzrahmen definiert wird, der über die Rechte-Hand-Regel bestimmt wird .

In der Tat, wann $\mathbf{D}=D\mathbf{i}$ Und $\mathbf{F}=F\mathbf{j}$ bezüglich eines rechtshändigen kartesischen Bezugssystems haben wir entsprechend dem Obigen

v_{3}^{*} = D F, v_{1}^{*} = v_{2}^{*} = 0 ⟹ v^{*} = D F k .

$V_3^{*}=DF,\qquad V_1^{*}=V_2^{*}=0\qquad\implies\qquad\mathbf{V}^{*}=DF\mathbf{k}.$ Nun die Basisvektoren

i^{'} = - i

$\mathbf{i}'=-\mathbf{i}$ ,

j^{'} = - j

$\mathbf{j}'=-\mathbf{j}$ ,

k^{'} = - k

$\mathbf{k}'=-\mathbf{k}$ und zugehörige Koordinatenachsen bilden einen linkshändigen kartesischen Bezugsrahmen. In Bezug auf diesen Referenzrahmen haben wir

D = - D i^{'}

$\mathbf{D}=-D\mathbf{i}'$ Und

F = - F j^{'}

$\mathbf{F}=-F\mathbf{j}'$ . Daher haben wir jetzt

v_{3}^{*} = (- D) (- F) = D F, v_{1}^{*} = v_{2}^{*} = 0 ⟹ v^{*} = D F k^{'} = (- D F) k .

$V_3^{*}=(-D)(-F)=DF,\qquad V_1^{*}=V_2^{*}=0\qquad\implies\qquad\mathbf{V}^{*}=DF\mathbf{k}'=(-DF)\mathbf{k}.$

Ich verstehe den Zweck nicht wirklich, das Kreuzprodukt koordinatenabhängig zu definieren, was je nach Händigkeit des verwendeten Rahmens deutlich unterschiedliche Ergebnisse liefert. Ich verstehe, dass viele Physiktexte zwischen zwei Arten von Vektoren (polar und axial) unterscheiden möchten, aber in Goldsteins Buch scheint diese Unterscheidung lediglich darauf zurückzuführen zu sein, dass die traditionelle koordinatenunabhängige geometrische Definition gegen die obige koordinatenabhängige ausgetauscht wurde .

Der Standpunkt der obigen Diskussion ist ein passiver, dh die Koordinatenachsen sind invertiert. Einige Texte bevorzugen den aktiven Ansichtspunkt, bei dem Punkte, Vektoren und physische Objekte in Bezug auf einen festen Referenzrahmen gedreht werden, anstatt von einem Referenzrahmen in einen anderen überzugehen. In diesem Fall invertiert man alle Vektoren: $\mathbf{D}'=-\mathbf{D}$ für alle $\mathbf{D}$ . Wenn $\mathbf{V}^{*}=\mathbf{D}\times\mathbf{F}$ , so würde man argumentieren $(\mathbf{V}^{*})'=\mathbf{D}'\times\mathbf{F}'=(-\mathbf{D})\times(-\mathbf{F})=\mathbf{D}\times\mathbf{F}=\mathbf{V}^{*}$ . Aber warum nicht $(\mathbf{V}^*)'=-\mathbf{V}^{*}$ , dh warum berechnet man das Kreuzprodukt der invertierten Vektoren anstatt das Kreuzprodukt selbst zu invertieren ?

NDewolf

Wie Sie selbst bemerken, verwendet das Kreuzprodukt die Rechte-Hand-Regel und ist daher nicht koordinatenunabhängig.

Rindler98

Wie so? Sie benötigen keine Koordinaten, um die Rechte-Hand-Regel zu definieren oder zu verwenden.

Rindler98

Mit der (willkürlich gewählten) Rechte-Hand-Regel lässt sich das Kreuzprodukt zweier beliebiger Vektoren rein geometrisch bestimmen, ohne Bezug auf ein Koordinatensystem.

Rindler98

Eine Rechte-Hand-Regel wählt man nicht anhand von Koordinaten, man wählt sie geometrisch.

Nihar Karve

Können Sie angeben, wie Sie das tun?

Rindler98

"Das Schiefprodukt [=Kreuzprodukt] des Vektors

A

$\mathbf{A}$ in den Vektor

B

$\mathbf{B}$ ist die Vektorgröße

C

$\mathbf{C}$ deren Richtung die Normale auf dieser Seite der Ebene ist

A

$\mathbf{A}$ Und

B

$\mathbf{B}$ auf welcher Drehung ab

A

$\mathbf{A}$ Zu

B

$\mathbf{B}$ durch einen Winkel von weniger als einhundertachtzig Grad erscheint positiv oder gegen den Uhrzeigersinn; und deren Größe durch Multiplikation des Produkts der Größen von erhalten wird

A

$\mathbf{A}$ Und

B

$\mathbf{B}$ durch den Sinus des Winkels aus

A

$\mathbf{A}$ Zu

B

$\mathbf{B}$ ."

Rindler98

Zitat aus EW Wilsons "Vector Analysis", basierend auf Vorlesungen, die der wohl Gründervater der Vektoralgebra, JW Gibbs, in Yale gehalten hat.

Umaxo

@NiharKarve Sie geben dem Raum einfach eine zusätzliche Struktur - die Orientierungs- oder Volumenform - und definieren das Kreuzprodukt für diese Struktur.

Umaxo

@JilalJahangir Ich denke, sie argumentieren, dass es im 3D-Raum keinen Begriff "positiv" oder "gegen den Uhrzeigersinn" gibt. Sie benutzen die Worte, aber was bedeuten sie? Im gewöhnlichen 3D-Raum gibt es so etwas zwar nicht, aber Sie können es auf Wunsch als zusätzliche Struktur liefern.

Rindler98

Die intuitiven Konzepte des 3D-Raums und des Gegenuhrzeigersinns können im Kontext der affinen Geometrie mathematisch streng gemacht werden.

Rindler98

Mal im Ernst: Ein Physiker, der sich an dieser Diskussion beteiligt, sollte bildliche Definitionen geometrischer Begriffe wirklich nicht verachten. Das ist keine Frage der Strenge, sondern eine Frage der Konventionen und Definitionen.

Umaxo

@JilalJahangir Du brauchst nicht einmal affine Geometrie. Sie können die Orientierung in jedem Vektorraum definieren. Die Orientierung ist eine Äquivalenzbeziehung auf einer Menge aller möglichen Basis des Vektorraums. Die Wahl der Orientierung besteht dann darin, zufällig eine der Äquivalenzklassen auszuwählen und zu sagen, "das ist positiv". en.wikipedia.org/wiki/Orientation_(vector_space)

Rindler98

@Umaxo Das ist mir sicherlich bewusst. Tatsächlich würde man im Kontext der affinen Geometrie ähnlich vorgehen.

Umaxo

@JilalJahangir Anywho, die Bereitstellung von Orientierung reicht nicht aus, um das Kreuzprodukt für höherdimensionale Räume zu definieren, wie in der speziellen Relativitätstheorie. Und da Goldstein ein Kapitel über STR hat, glaube ich, dass es keine gute Wahl wäre, es künstlich einzuführen.

Antworten (1)

Transformationseigenschaften des Kreuzprodukts

Wie Sie selbst bemerken, verwendet das Kreuzprodukt die Rechte-Hand-Regel und ist daher nicht koordinatenunabhängig.
Wie so? Sie benötigen keine Koordinaten, um die Rechte-Hand-Regel zu definieren oder zu verwenden.
Mit der (willkürlich gewählten) Rechte-Hand-Regel lässt sich das Kreuzprodukt zweier beliebiger Vektoren rein geometrisch bestimmen, ohne Bezug auf ein Koordinatensystem.
Eine Rechte-Hand-Regel wählt man nicht anhand von Koordinaten, man wählt sie geometrisch.
"Das Schiefprodukt [=Kreuzprodukt] des Vektors $\mathbf{A}$ in den Vektor $\mathbf{B}$ ist die Vektorgröße $\mathbf{C}$ deren Richtung die Normale auf dieser Seite der Ebene ist $\mathbf{A}$ Und $\mathbf{B}$ auf welcher Drehung ab $\mathbf{A}$ Zu $\mathbf{B}$ durch einen Winkel von weniger als einhundertachtzig Grad erscheint positiv oder gegen den Uhrzeigersinn; und deren Größe durch Multiplikation des Produkts der Größen von erhalten wird $\mathbf{A}$ Und $\mathbf{B}$ durch den Sinus des Winkels aus $\mathbf{A}$ Zu $\mathbf{B}$ ."
Zitat aus EW Wilsons "Vector Analysis", basierend auf Vorlesungen, die der wohl Gründervater der Vektoralgebra, JW Gibbs, in Yale gehalten hat.
@NiharKarve Sie geben dem Raum einfach eine zusätzliche Struktur - die Orientierungs- oder Volumenform - und definieren das Kreuzprodukt für diese Struktur.
@JilalJahangir Ich denke, sie argumentieren, dass es im 3D-Raum keinen Begriff "positiv" oder "gegen den Uhrzeigersinn" gibt. Sie benutzen die Worte, aber was bedeuten sie? Im gewöhnlichen 3D-Raum gibt es so etwas zwar nicht, aber Sie können es auf Wunsch als zusätzliche Struktur liefern.
Die intuitiven Konzepte des 3D-Raums und des Gegenuhrzeigersinns können im Kontext der affinen Geometrie mathematisch streng gemacht werden.
Mal im Ernst: Ein Physiker, der sich an dieser Diskussion beteiligt, sollte bildliche Definitionen geometrischer Begriffe wirklich nicht verachten. Das ist keine Frage der Strenge, sondern eine Frage der Konventionen und Definitionen.
@JilalJahangir Du brauchst nicht einmal affine Geometrie. Sie können die Orientierung in jedem Vektorraum definieren. Die Orientierung ist eine Äquivalenzbeziehung auf einer Menge aller möglichen Basis des Vektorraums. Die Wahl der Orientierung besteht dann darin, zufällig eine der Äquivalenzklassen auszuwählen und zu sagen, "das ist positiv". en.wikipedia.org/wiki/Orientation_(vector_space)
@Umaxo Das ist mir sicherlich bewusst. Tatsächlich würde man im Kontext der affinen Geometrie ähnlich vorgehen.
@JilalJahangir Anywho, die Bereitstellung von Orientierung reicht nicht aus, um das Kreuzprodukt für höherdimensionale Räume zu definieren, wie in der speziellen Relativitätstheorie. Und da Goldstein ein Kapitel über STR hat, glaube ich, dass es keine gute Wahl wäre, es künstlich einzuführen.

AccidentalTaylorExpansion · Answer 1

AccidentalTaylorExpansion

Das Kreuzprodukt ist ein sogenannter Pseudovektor . Bei Drehungen transformiert es sich normal, aber bei Reflexionen erhält es ein zusätzliches Minuszeichen.

Betrachten Sie das folgende Bild einer Reflexion

Lassen Sie uns den blauen Vektor als das Kreuzprodukt von grün definieren $\times$ Rot. Nach einer Reflexion wird der blaue Vektor immer noch als grün definiert $\times$ rot, zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Es ist kein richtiger Vektor, denn wenn Sie einen normalen Vektor entlang der y-Achse spiegeln $^\dagger$ nur die y-Komponente wird umgedreht. Eine Paritätstransformation ist nur eine Zusammensetzung aus drei Reflexionen, und was ich gerade gesagt habe, gilt für jede ungerade Anzahl von Reflexionen. Eine gerade Anzahl von Reflexionen kann als Drehung geschrieben werden, sodass Sie dort keinen Unterschied bemerken würden.

Die koordinative Schreibweise des Kreuzprodukts stimmt perfekt mit der geometrischen Definition überein.

Der Drehimpuls ist ein weiteres Beispiel für einen Pseudovektor, und ich fand dieses Bild (von der Wikipedia-Seite zu Pseudovektoren) sehr aufschlussreich. Es zeigt den Drehimpuls der Räder und zeigt insbesondere vor und nach der Reflexion in die gleiche Richtung.

$\dagger$ Mit y-Achse meine ich die Links-Rechts-Richtung also entlang des grünen Vektors.

Rindler98

Lassen Sie uns die ausrichten

x

$x$ -Achse entlang des roten Vektors und der

z

$z$ -Achse mit dem blauen Vektor ganz rechts. Ihre Antwort betont den aktiven Standpunkt, dh einen „Paritätsoperator“.

\hat{P}

$\hat{P}$ transformiert aktiv den roten Vektor

r = r i

$\mathbf{r}=r\mathbf{i}$ und grüner Vektor

g = g j

$\mathbf{g}=g\mathbf{j}$ in ihre gespiegelten Gegenstücke

\hat{P} r = r

$\hat{P}\mathbf{r}=\mathbf{r}$ Und

\hat{P} g = - g

$\hat{P}\mathbf{g}=-\mathbf{g}$ . Worauf ich in meinem OP hingewiesen habe, ist, dass sich das Kreuzprodukt hier abnormal verhält, weil wir definieren

\hat{P} (g \times r) \equiv \hat{P} g \times \hat{P} r

$\hat{P}(\mathbf{g}\times\mathbf{r})\equiv\hat{P}\mathbf{g}\times\hat{P}\mathbf{r}$ .

Rindler98

Das anormale Verhalten ergibt sich aus der Entscheidung, das Kreuzprodukt auf diese Weise zu behandeln. Man könnte genauso gut den blauen Vektor behandeln

b = b k

$\mathbf{b}=b\mathbf{k}$ wie jeder andere Vektor. Seit

\hat{P}

$\hat{P}$ ein linearer Operator ist, brauchen wir nur das zu wissen

\hat{P} k = k

$\hat{P}\mathbf{k}=\mathbf{k}$ . Somit

\hat{P} b = \hat{P} (b k) = b k = b

$\hat{P}\mathbf{b}=\hat{P}(b\mathbf{k})=b\mathbf{k}=\mathbf{b}$ .

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NDewolf

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Nihar Karve

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AccidentalTaylorExpansion

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