Übergang vom Koordinatenraum zum Impulsraum für SHO

Mir ist gegeben, dass der Grundzustand des SHO im Positionsraum gegeben ist als

⟨ Q | ψ 0 ⟩ = 1 A 1 2 π 1 4 e − Q / 4 A 2
Wobei a eine Konstante mit Längeneinheiten ist. Ich werde dann gebeten, die entsprechende Impulsraumverteilung zu finden. Ich weiß, dass dies mit einer Fourier-Transformation zusammenhängen wird, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es in dieser Notation ausdrücken soll. Ich weiß auch:
⟨ Q | P ⟩ = C e ich P Q / ℏ .
Jetzt aussteigen ⟨ Q | ψ 0 ⟩ Zu ⟨ P | ψ 0 ⟩ Ich bin mir nicht sicher, welche Eigenschaften ich verwenden soll.

Tipp: Verwenden Sie die Tatsache, dass | a ⟩ = ∑ A ' | A ' ⟩ ⟨ A ' | a ⟩ mit ∑ A ' | A ' ⟩ ⟨ A ' | = 1 .
Ist das dasselbe wie tun ⟨ P | ψ 0 ⟩ = ⟨ P | Q ⟩ ⟨ Q | ψ 0 ⟩ ?
Ja, ich habe nur die verallgemeinerte Form für ein beliebiges Ket verwendet.
Nicht ganz, du musst dich noch integrieren...

Antworten (1)

Wie so oft bei dieser Art von Beweisen brauchen wir nur eine Vollständigkeitsrelation zu verwenden: Wir haben,

⟨ P | ψ 0 ⟩ = ⟨ P | ∫ D Q | Q ⟩ ⟨ Q | ψ 0 ⟩ = ∫ D Q e − ich P Q ⟨ Q | ψ 0 ⟩ = 1 A π ∫ D Q e − ich P Q e − Q 2 / 4 A 2 = 1 A π 2 A π e − A 2 P 2 = 2 A π e − P 2 / A 2
Das Integral ist nur eine Gaußsche Funktion. Beachten Sie, dass Sie aufgrund von Normalisierungen usw. möglicherweise ein etwas anderes Ergebnis erhalten.

Übergang vom Koordinatenraum zum Impulsraum für SHO
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