Umwandlung der Aufprallgeschwindigkeit in die Druckgröße

Hintergrund
Es gibt eine gute Referenz ¹ zur Physik von Schall-/Stoßwellen in Festkörpern (siehe Kapitel XI). Ich fand Folgendes (auf Seite 688) sehr interessant und relevant für Ihre Frage:

In einem Feststoff oder einer Flüssigkeit gilt eine Schockwelle mit einer Stärke von sogar hunderttausend Atmosphären als schwach. Eine solche Welle unterscheidet sich kaum von einer akustischen Welle: Sie bewegt sich mit einer Geschwindigkeit nahe der Schallgeschwindigkeit, komprimiert das Material nur um wenige Prozent oder vielleicht in der Größenordnung von zehn Prozent und verleiht dem Material hinter der Front eine Geschwindigkeit liegt in der Größenordnung von einem Zehntel der Geschwindigkeit der Welle selbst ... dann ist eine starke Stoßwelle für kondensierte Medien eine, deren Druck nicht weniger als zehn oder hundert Millionen Atmosphären beträgt.

Lassen Sie uns definieren$P$wie der Druck und$\varepsilon$als innere Energie eines festen Stoffes. Diese können in zwei Teile unterteilt werden: ein Gummiband (tiefgestellt$c$) und thermischer Teil.$P_{c}$und$\varepsilon_{c}$hängen nur von der Dichte des Materials ab,$\rho$, oder das spezifische Volumen,$V$=$1/\rho$. Diese sind gleich dem Gesamtdruck und der spezifischen inneren Energie am absoluten Nullpunkt bzw$T = 0 \ K$. Nehmen wir an, dass das spezifische Volumen bei$T = 0$und$P = 0$wird von gegeben$V_{oc}$, das nur ~1-2% kleiner ist als das spezifische Volumen bei STP ,$V_{o}$, für die meisten Metalle.

Die Kurve der potentiellen Energie oder die Kurve definierend$\varepsilon_{c}$, ist qualitativ ähnlich der Potentialenergiekurve, die die Wechselwirkung zwischen zwei Atomen als Funktion des intranuklearen Abstands beschreibt,$\Delta x_{n}$. Wann$V > V_{oc}$, dominieren die Anziehungskräfte, fallen aber mit zunehmendem Abstand innerhalb des Kerns schnell ab (z$T$steigt). Mit anderen Worten, wenn sich die Atome weiter voneinander entfernen$\varepsilon_{c}$wird asymptotisch auf einen bestimmten Wert ansteigen$U$, was ungefähr der Bindungsenergie der Atome im Körper entspricht. Daher,$U$stellt die Energie dar, die erforderlich ist, um alle Atome vom Objekt bis ins Unendliche zu entfernen, was ungefähr der Verdampfungswärme für das Material entspricht (ich habe einige weitere Details zur Verdampfungswärme geschrieben und in dieser Antwort mehrere nützliche Links bereitgestellt ). Beispielsweise beträgt die Zerstäubungswärme (ähnlich der Verdampfung) für Eisen ungefähr$415 kJ mol^{-1}$oder ~4,3 eV/Atom. Daher,$\varepsilon_{c} (V) \rightarrow U$wie$\Delta x_{n} \rightarrow \sim 2$.

Umgekehrt dominieren die abstoßenden Kräfte, wenn$V < V_{oc}$. Wir können dies quantitativ definieren, indem wir berücksichtigen, dass die durch das Komprimieren des Materials verrichtete Arbeit gleich der Zunahme der inneren Energie ist. Mit anderen Worten:

$$P_{c} = - \left( \frac{ d \varepsilon_{c} }{ d V } \right)_{T = 0}$$ was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass es sich um die isotherme / isentropische Gleichung für die Kaltkompression handelt. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass, wenn eine Zugkraft auf den Körper ausgeübt würde, die Bindungskräfte zwischen Atomen als Rückstellkraft wirken würden. Die Steigung der $P_{c}$Kurve bei $P = 0$(oder 1 atm) definiert die Kompressibilität des Materials unter normalen Bedingungen (d. h. $T = T_{o} \sim 300 \ K$). Dies ist gegeben durch: $$\kappa_{o} = - \frac{ 1 }{ V_{o} } \left( \frac{ \partial V }{ \partial P } \right)_{T_{o}}$$ Beachten Sie, dass die Steigung von $\kappa_{o}$definiert die Geschwindigkeit elastischer Wellen innerhalb des Objekts. Lassen Sie uns also die Schallgeschwindigkeit im Festkörper als diese Geschwindigkeit definieren, gegeben durch: $$C_{o} = \sqrt{ - V^{2} \left( \frac{ \partial P }{ \partial V } \right)_{S} }$$ wo der Index $S$gibt eine isentrope Ableitung an und die partielle Ableitung wird negativ sein, um imaginäre Schallgeschwindigkeiten zu vermeiden.

Einfache Annäherung nullter Ordnung
Meine spontane Annahme ist, dass der einfachste Ansatz, vorausgesetzt, Sie nehmen elastische Kollisionsbeziehungen an, darin besteht, nur die zu approximieren$\Delta \varepsilon_{c}$durch die endgültige kinetische Energie Ihres aufprallenden Objekts, vorausgesetzt, dass sich der Aufprallempfänger (?) Nach dem Aufprall nicht bewegt.

Approximation erster Ordnung
[Das Folgende stammt aus Kapitel XI, Abschnitte 3.14-3.16 in Referenz 1]

Im Folgenden betrachten wir die Auswirkungen auf einen zylindrischen Stab (aus Symmetrie- und Einfachheitsgründen verwendet).

Bei kleinen Verformungen ist die relative Volumenänderung$\Delta V/V$, ist gegeben durch:

$$\frac{ \Delta V }{ V } = - \kappa \ P = - \frac{ P }{ K }$$ wo $K = 1/\kappa$ist der Kompressionsmodul .

Lassen Sie uns definieren$C_{1}$als Geschwindigkeit einer Kompressionswelle im Material aufgrund der Anwendung eines konstanten Drucks,$P$, angewendet auf ein Ende der Stange zu einem gewissen Anfangszeitpunkt. Das Material zwischen Wellenfront und Stabende zieht sich mit konstanter Geschwindigkeit zusammen,$u$. Unter diesen Bedingungen können wir das Hookesche Gesetz anwenden und zeigen, dass für kleine Lasten und Verformungen gilt:

$$\frac{ u }{ C_{1} } = \frac{ P }{ E }$$ wo $E$ist der Elastizitätsmodul . Nach einiger Zeit, $t$, erhält die von der Welle erfasste Materialmasse eine Eigendynamik $\rho \ C_{1} \ t \ u$, die gleich sein muss $P \ t$aus dem Newtonschen Gesetz, das uns gibt: $$P = \rho \ u \ C_{1}$$

Ausführlichere Antwort
Leider habe ich keine Zeit, die vollständige Ableitung durchzugehen, aber ich schlage Kapitel XI in Referenz 1 vor und verwende Referenz 2 für unterstützende Informationen. Zel'dovich und Raizer verbringen im Grunde das gesamte Kapitel XI damit, dieses Thema zu diskutieren, und gehen auf alle Nuancen ein, die auf Ihr Problem zutreffen würden (z. B. Druckwelle, die durch Stoßwellenkompression induziert wird). Ich vermute, dass vieles davon eine numerische Analyse erfordert, aber es gibt analytische Ausgangspunkte und Annäherungen, die Ihnen wahrscheinlich viel Zeit sparen würden.

Verweise

1. Zel'dovich, Ya.B. und Yu.P. Raizer (2002) Physik von Stoßwellen und hydrodynamischen Hochtemperaturphänomenen , Ed. von WD Hayes und RF Probstein, Mineola, NY, Dover Publications, Inc., The Dover Edition; ISBN-13: 978-0486420028.
2. Whitham, GB (1999), Lineare und nichtlineare Wellen , New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.