Was sagt ein gekrümmter natürlicher Logarithmus aus?

Tut mir leid, wenn das ziemlich einfach ist, aber ich habe gerade erst angefangen, etwas über die Verwendung von Logarithmen in der Experimentalphysik zu lernen.

Ich habe ein Experiment durchgeführt, um zu testen, wie lange es dauern würde, bis eine Wassermenge eine Bürette verlässt. Als Regelgröße habe ich die Ausgangswassermenge in der Bürette verwendet, 50 C M 3 . Ich notierte die Zeit, die es dauerte, bis ein bestimmtes Wasservolumen in der Bürette verblieb. Zum Beispiel, 10 C M 3 links dauerte eine Zeit von ungefähr 71 S ; 45 cm 3 links dauerte ungefähr 6 S , und dann viele Werte dazwischen.

Ich würde erwarten, dass dies einen exponentiellen Abfall darstellt, da unterschiedliche Konzentrationen und Wassermassen in der Bürette unterschiedliche Auswirkungen auf die Geschwindigkeit des Wassers haben würden, das die Bürette verlässt. (Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.)

Also zeichnete ich ein Volumen-Zeit-Diagramm und es zeigte einen exponentiellen Abfall, aber es war nur sehr leicht gekrümmt, aber trotzdem gekrümmt.

Also entschied ich mich dann, ein Diagramm von zu zeichnen ln ⁡ ( v / cm 3 ) gegen Zeit/s. Dies ergab jedoch keine gerade Linie. Wenn ich den eingezeichneten Punkten mit einer Kurve folgen würde, wäre die Steigung der Linie negativ gewesen und hätte sich in negativer 'Größe' erhöht.

Ich soll das Ausmaß analysieren, ob mein Experiment einen exponentiellen Zerfall zeigt oder nicht. Ich stecke ziemlich fest, weil mein ursprüngliches Diagramm einen sehr leichten Abfall zeigt, während mein Log-Diagramm keine gerade Linie ist. Zeigt die Tatsache, dass das Log-Diagramm keine gerade Linie erzeugt, dass es keinen exponentiellen Abfall gibt? Ist es egal? Wäre es richtig gewesen, wenn es sehr wenige experimentelle Fehler/Unsicherheiten gegeben hätte (es wären viele gewesen)?

Also ich denke, im Grunde ist meine Frage:

Was deutet die gekrümmte Linie in meinem natürlichen Logarithmus an?

Sie sollten die Grafiken wirklich in Ihre Frage aufnehmen, da es sonst schwierig ist, festzustellen, was genau vor sich geht.
Nur zur Verifizierung: Wenn die Geschwindigkeit, mit der Wasser aus der Bürette fließt, proportional zur Wassermenge in der Bürette ist, dann ist ein exponentieller Abfall zu erwarten. (aber es kann natürlich auch andere Faktoren geben)
@NeuroFuzzy hat recht. Wenn die Durchflussrate proportional zum Druck am Loch (Förderhöhe) ist, sollten Sie einen exponentiellen Abfall sehen. Dies gilt jedoch nur in der Viskositätsgrenze. Für reibungsfreien Fluss ist die Flussrate aufgrund der Energiebilanz proportional zur Quadratwurzel des Drucks .

Antworten (3)

Ein kurzes Gekritzel auf einem Umschlag deutet darauf hin, dass sich das Volumen in der Bürette mit der Zeit ändert, je nach:

v = v 0 ( T 0 − T T 0 ) 2

Wo v 0 ist das Anfangsvolumen (50cc in diesem Fall) und T 0 ist die Zeit, die die Bürette zum Entleeren benötigt. Die Kurve ist also kein exponentieller Abfall. Es ist eigentlich ein Abschnitt einer Parabel, aber entlang der Zeitachse verschoben. Noch ein kurzes Gekritzel in Excel und ich bekomme ein Diagramm, das so aussieht (vorausgesetzt T 0 beträgt 20 Sekunden):

Vol-Zeit

Wenn Sie mit diesen Daten ein Diagramm von ln(V) gegen die Zeit erstellen, erhalten Sie eine deutlich nicht gerade Linie:

Log-Plot

Es ist gefährlich anzunehmen, dass jede Kurve, die vage einer Exponentialkurve ähnelt, tatsächlich eine Exponentialkurve ist, obwohl dies ein häufiger Fehler unter angehenden Physikern ist. Sie brauchen wirklich ein mathematisches Modell, anhand dessen Sie Ihre Daten auswerten können.

Diese beiden Grafiken sind genau das, was ich bekommen habe. Würden Sie mir bitte zeigen, wie Sie zu $V=V_0(\dfrac{t_0-t}{t_0})^2 gekommen sind
Von der Form her genau das, was ich bekommen habe.
@OllyPrice: das ist eine andere Frage :-)
@OllyPrice Versuchen Sie in diesem Fall ein Log-Log-Diagramm (dh ein Diagramm, bei dem beide Achsen logarithmisch sind). Eine Potenz-Gesetz-Beziehung, wie sie John vorschlägt, erzeugt eine gerade Linie in einem Log-Log-Diagramm.
Ein Log-Log-Diagramm des Volumens gegen die Zeit ergibt jedoch kein gerades Diagramm, da das Volumen nicht proportional zu ist T N für irgendeinen Exponenten N . Sie müssten log (Volumen) gegen log (( T 0 - T )/ T 0 ), um die gerade Linie zu erhalten, und natürlich würden Sie das ohne Ihr Modell nicht wissen, wie die Lautstärke variieren sollte.
@JohnRennie Wie würden Sie die in Ihrem letzten Diagramm gezeigte Beziehung nennen? Logarithmischer Zerfall ?

Wenn Sie auf Semi-Log-Papier gezeichnet haben (oder gleichwertig den Log der abhängigen Variablen gegen die unabhängige Variable gezeichnet haben) und keine gerade Linie erhalten haben (innerhalb der Unsicherheit), dann haben Sie keine exponentielle Beziehung .

Fragen Sie sich also, wie sicher Sie sind, dass Sie ein exponentielles Verhalten erwarten sollten?

Wie sicher sind Sie übrigens, dass Sie eine Exponentialkurve von einer Potenzgesetzkurve unterscheiden können? Haben Sie versucht, auf Log-Log-Papier zu zeichnen (oder gleichwertig den Log der abhängigen Variablen gegen den Log der unabhängigen Variablen zu zeichnen)?

Wenn Sie außer in einem Bereich Ihres Diagramms eine lineare Beziehung erhalten, vermuten Sie möglicherweise auch einen unerklärten systematischen Effekt.

Ein Log-Log-Plot funktioniert in diesem Fall nicht

Vielleicht könntest du mal die Grafiken zeigen. Wenn Sie den Logarithmus jedes Punktes nehmen und sie nicht in eine gerade Linie fallen, könnte es sein, dass Ihre Daten nicht wirklich einem exponentiellen Modell gehorchen, aber Sie müssen dies mit der Ausbreitung der Unsicherheit überprüfen. Zum Beispiel, wenn die Daten so etwas fallen

Punkte

und nach dem Exponential der Daten geht es wie folgt:

Linearisierung

dann ist es in Ordnung, auch wenn einige Punkte weit von der Linie entfernt sind, da die Daten zusammen mit ihrer Unsicherheit in akzeptabler Weise zum Modell passen, das in diesem Fall ein Logarithmus wäre.

Was sagt ein gekrümmter natürlicher Logarithmus aus?
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