Unterschied zwischen richtigen und sich bewegenden Rahmen

Beschränken wir uns auf den Fall der speziellen Relativitätstheorie basierend auf den Kommentaren unter dem ursprünglichen Beitrag.

Lassen$x^\mu(t) = (t, \mathbf x(t))$sei der im Laborrahmen gemessene Weg eines zeitähnlichen Teilchens. In irgendeinem Trägheitsrahmen. Angenommen, das irgendwann$t_0$, wird das Teilchen in diesem Rahmen mit einer Geschwindigkeit von Null gemessen;

$$\frac{d \mathbf x}{dt}(t_0) = 0$$ Dann bewegt sich dieses Inertialsystem per Definition zeitlich mit dem Teilchen mit $t_0$. Nehmen Sie an, Sie geben sich einem leichten Missbrauch der Notation hin $t(\tau)$gibt die Trägheitszeit als Funktion der Eigenzeit an. Dann haben wir $$\frac{d}{d\tau}\mathbf x(t(\tau)) = \frac{d\mathbf x}{dt}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau}(\tau)$$ Und $$\frac{d^2}{d\tau^2}\mathbf x(t(\tau)) = \frac{d^2\mathbf x}{dt^2}(t(\tau))\left[\frac{dt}{d\tau}(\tau)\right]^2 +\frac{d\mathbf x}{dt}(t(\tau))\frac{d^2t}{d\tau^2}(\tau)$$ bewerten Sie dies bei $\tau_0$befriedigend $t(\tau_0) = t_0$; mit anderen Worten $\tau_0$ist genau der richtige Zeitpunkt, zu dem sich die Rahmen bewegen. Der zweite Term verschwindet durch die mitbewegte Annahme, außerdem der Faktor $\frac{dt}{d\tau}(\tau_0)$eben gleich $1$denn erinnere dich daran $dt = \gamma d\tau$und da das Teilchen relativ zum sich mitbewegenden Rahmen momentan in Ruhe ist, $\gamma = 1$in diesem Augenblick. Wir bekommen daher $$\frac{d^2}{d\tau^2}\mathbf x(t(\tau))\Big|_{\tau = \tau_0} = \frac{d^2\mathbf x}{dt^2}(t_0)$$ Die linke Seite ist per Definition die Eigenbeschleunigung zum "Mitbewegungszeitpunkt" des Teilchens. Die rechte Seite ist die vom mitbewegten Beobachter gemessene Beschleunigung, also ist dies die gewünschte Gleichheit.