Variablen in semantisch äquivalenten Sätzen (prop. Logik)

Ich fange gerade an, mich selbst mit Aussagenlogik zu befassen, bevor ich einen Kurs belegen werde, und ich bin etwas verwirrt über den Begriff der semantischen Äquivalenz (das doppelte Drehkreuz). Was genau bedeuten zB "A" und "B" in der Aussage A ⊨ B? Sind sie nur freie Variablen oder etwas anderes? Ich bin mir nicht sicher, wie freie Variablen semantische Eigenschaften haben können. Ist semantische Äquivalenz auch eine Beziehung der Identität oder der Folgerung? Ich habe gesehen, dass es als "semantische Folgerung" bezeichnet wird, aber Folgerung und Äquivalenz scheinen mir ziemlich unterschiedlich zu sein. Danke im Voraus!

Es sind Formeln; siehe Logische Konsequenz .
Tut mir leid, dass ich dieses tote Pferd geschlagen habe, aber ich glaube nicht, dass es Formeln sein können, es sind Namen von Formeln, ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass dies der Fall ist, ich nehme an, es ist allgemein bekannt. Nehmen wir ein konkretes Beispiel: P, P ⊃ Q ⊨ Q. Das ist eine Kurzform für: „P“, „P⊃ Q“ ⊨ „Q“. Es ist nur so, dass die meisten Bücher es nie erwähnen, sie sind einfach zu faul, die Zitierhilfen zu benutzen.

Antworten (1)

Einige Anmerkungen:

  • „A“ und „B“ stehen im Allgemeinen für Formeln. Daher ist "A ⊨ B" für sich genommen ein gerechtes Schema. Sie können bestimmte Formeln eingeben, um eine auswertbare Aussage zu erhalten, zB "P, P ⊃ Q ⊨ Q", was wahr ist (modus ponens), oder "P ⊨ (P ∧ Q)", was falsch ist.
  • "A" und "B" sind daher, zumindest in der gängigen Terminologie, keine freien Variablen. Freie Variablen sind eine Sache der Prädikatenlogik . In der Aussagenlogik gibt es jedoch überhaupt keine freien Variablen.
  • Das doppelte Drehkreuz (⊨) bedeutet nicht semantische Äquivalenz, sondern bloße semantische Folgerung . Eine Aussage der Form „A ⊨ B“ bedeutet also, dass immer dann, wenn A wahr ist, auch B wahr ist (in der Aussagenlogik macht jede Zuordnung, die A wahr macht, auch B wahr).
  • Semantische Äquivalenz bedeutet, dass (bei zwei Formeln A und B) sowohl A ⊨ B als auch B ⊨ A . Mit anderen Worten bedeutet semantische Äquivalenz, dass A und B einander bedingen, oder in der Aussagenlogik, dass A und B unter genau denselben Zuweisungen wahr sind.
Man sollte hier aufpassen, dass „P, P ⊃ Q ⊨ Q“ eigentlich keinen Sinn ergibt, wenn die „⊨“ flankierenden Formeln keine Namen, sondern objektsprachliche Sätze sind.
@Johannes Entschuldigung, ich verstehe nicht, was du meinst, kannst du das bitte erklären?
"P, P ⊃ Q ⊨ Q" ist ein Satz in der Metasprache, der normalerweise so interpretiert wird, dass der Objektsprachensatz "Q" eine Folge der Sätze "P" und "P ⊃ Q" ist, also darüber sprechen muss Formeln daher muss es die Namen dieser Formeln verwenden. Beachten Sie, dass daher im Schema "A ⊨ B" (vorausgesetzt, es handelt sich um ein Schema) die schematischen Buchstaben "A" und "B" metasprachliche Namen als Instanzen annehmen. Genau wie im T-Schema: "X ist wahr, wenn p", wird dieses Schema in der Meta-Meta-Sprache ausgedrückt, also nimmt das "X" in diesem Schema als Instanz metasprachliche Namen von Sätzen in Objektsprache ... .
@Johannes Okay, also interpretierst du "P" als Namen für einen Satz in einer anderen Sprache (vielleicht einer natürlichen Sprache)? Ich denke, das ist zumindest nicht Standard; in der Aussagenlogik wird "P" bereits in der Objektsprache angenommen. Aber selbst wenn Sie "P" als Metasprache ansehen, warum sollte "P, P ⊃ Q ⊨ Q" eigentlich keinen Sinn ergeben? Natürlich müssen Sie "⊨" für die Dann-Objekt-Sprache definieren, aber dies kann (zum Beispiel) in Bezug auf mögliche Welten erfolgen.
@Johannes Übrigens glaube ich nicht, dass in dem von Ihnen angegebenen T-Schema "X" in Meta-Meta-Sprache ist, aber ich sehe es eher als Abkürzung für einen Namen des Satzes p . Dies liegt daran, dass wir hier Wahrheit aussagen, also möchten Sie in der Subjektposition den Namen eines Satzes haben, nicht den Namen eines Namens eines Satzes.
Nein, da irrst du dich einfach, egal ob "P" tatsächlich ein Objektsprachensatz ist, im Kontext "P, P ⊃ Q ⊨ Q" ist es Teil der Metasprache, die als Name verwendet wird, frag jeden Kompetenten Logiker, dies wird in Logiktexten nicht oft erwähnt, was eine schlechte Praxis ist. Ebenso macht der folgende Satz keinen Sinn: „es regnet, es ist bewölkt“, das ist Kauderwelsch, man muss sagen, „es regnet“ bedeutet „es ist bewölkt““. Bezüglich des T-Schemas ist es wahr, dass seine Instanzen in der Metasprache sind, aber das Schema selbst ist es nicht, weil "X" ein Platzhalter für Metasprachennamen ist.
Um es klarer zu machen, beachten Sie, dass "P, P ⊃ Q ⊨ Q" eine Abkürzung ist, um im Wesentlichen zu sagen: "Wann immer "P" und "P ⊃ Q" wahr sind, dann ist "Q" wahr". "⊨" drückt also eine abstrakte Beziehung zwischen objektsprachlichen Formeln aus, beachten Sie insbesondere die Verwendung des Wahrheitsprädikats. In ähnlicher Weise drückt „liebt“ eine Beziehung zwischen Menschen aus, also muss es Namen von Menschen als Argumente nehmen, „Aristoteles liebt Pythias“ ist wohlgeformt, weil es die Namen dieser Menschen als Argumente verwendet und versucht, die tatsächlichen Menschen als Argumente zu verwenden, nicht Es macht keinen Sinn, es sei denn vielleicht als seltsame moderne Kunstinstallation.
@Johannes Ich verstehe, danke für deine Bemühungen. Mir scheint, Sie interpretieren „P“ als Bezeichnung für „P“ (dann handelt es sich tatsächlich um einen metalinguistischen Namen). Andererseits neige ich dazu, „P, P ⊃ Q ⊨ Q“ nur als bequeme Abkürzung für „ „P“, „P ⊃ Q“ ⊨ „Q“ “ zu behandeln. Im letzteren Fall ist „P“ also überhaupt keine Metasprache, oder?
Die Aussage " "P", "P ⊃ Q" ⊨ "Q" " (ohne die äußeren Anführungszeichen, wenn der Satz verwendet wird) ist meines Erachtens genau richtig, hier ist " "P" " Teil der Metasprache der Mathematiker. In diesem Satz bezeichnet also „P“ die Objektsprache wff „P“, genauso wie der Name „Aristoteles“ den Menschen Aristoteles in „Aristoteles liebt Pythias“ bezeichnet. So wird " "P" " in " "P" verwendet, "P ⊃ Q" ⊨ "Q" " genauso wie "Aristoteles" in dem Satz "Aristoteles liebt Pythias" verwendet wird, beide werden als Namen bestimmter Objekte verwendet, wenn ich möchte ich die Namen erwähnen wie ich es gerade getan habe dann schreibe ich natürlich " "P" " und ähnlich "Aristoteles"
Variablen in semantisch äquivalenten Sätzen (prop. Logik)
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