Verwendung von Geschwindigkeit = Weg/Zeit, um das Zeitintervall mit relativistischer Geschwindigkeit zu erhalten

Question

Verwendung von Geschwindigkeit = Weg/Zeit, um das Zeitintervall mit relativistischer Geschwindigkeit zu erhalten

Raghav Gupta

Angenommen, ich bin in einem Raumschiff. Ein anderes Schiff bewegt sich relativ zu mir in einer Richtung direkt von mir weg mit einer Relativgeschwindigkeit (vergleichbar mit c), die ich durch Messung des Dopplereffekts bestimme. Mein Raumschiff wird mit einem sehr großen daran befestigten Koordinatensystem geliefert, wobei die Koordinaten an einigen der Punkte geschrieben sind und an diesen Punkten synchronisierte Uhren gehalten werden. Das andere Schiff bewegt sich zwischen zwei solchen Punkten.

Das Passieren des Schiffes an diesen Punkten stellt zwei Ereignisse dar, und ich erhalte direkt das Zeitintervall und das Raumintervall zwischen diesen Punkten.

Wenn ich also jetzt die Geschwindigkeit = Verschiebung / Zeit-Formel verwende, um indirekt die Zeit zu erhalten, bekomme ich dann die richtige Zeit (von der ich denke, dass eine Uhr auf dem anderen Schiff sie messen könnte) oder bekomme ich die falsche Zeit (von der ich denke, dass mein System von Uhren werden mir gegeben haben)? Ich muss noch mit Universitätsphysik beginnen, also kann ich mich in einigen Dingen irren. Fühlen Sie sich frei, um Erläuterungen zu bitten.

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Verwendung von Geschwindigkeit = Weg/Zeit, um das Zeitintervall mit relativistischer Geschwindigkeit zu erhalten

John Rennie · Answer 1

Nennen wir die beiden Punkte $A$ Und $B$ , und wir nehmen sie in die Ferne $dx$ auseinander, wie in Ihrem Rahmen gemessen.

In Ihrem Rahmen messen Sie das andere Raumschiff, um eine Zeit zu nehmen $dt$ erhalten aus $A$ Zu $B$ , und da das andere Raumschiff mit einer Geschwindigkeit unterwegs ist $v$ relativ zu dir ist diese Zeit gegeben durch:

\begin{matrix} (1) & D X = v D T \end{matrix}

$dx = v~dt \tag{1}$

Die richtige Zeit , $d\tau$ , denn die Trajektorie zwischen den beiden Punkten ist durch die Minkowski-Metrik gegeben:

\begin{matrix} (2) & C^{2} D τ^{2} = C^{2} D T^{2} - D X^{2} - D j^{2} - D z^{2} \end{matrix}

$c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$

und wir gehen davon aus, dass die gesamte Bewegung entlang der verläuft $x$ Achse also $dy = dz = 0$ . Dann Auswechseln $dx = vdt$ aus (1) finden wir, dass die richtige Zeit einfach ist:

\begin{matrix} (3) & D τ = D T \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}} = \frac{D T}{γ} \end{matrix}

$d\tau = dt\sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{dt}{\gamma} \tag{3}$

Da Sie also sicher vermutet haben, dass das Teilen der Entfernung durch die Geschwindigkeit nicht die richtige Zeit ergibt, erhalten Sie die Koordinatenzeit .

Es lohnt sich zu überlegen, was im Ruhesystem des sich bewegenden Raumschiffs passiert. In diesem Rahmen ist das Raumschiff am Ursprung stationär, bewegt sich also nicht im Raum und $dx'=0$ . Der Punkt $A$ passiert das Raumschiff irgendwann $(t' 0)$ und der Punkt $B$ an demselben Punkt im Raum vorbeigeht, aber zu einem späteren Zeitpunkt $(t' + dt', 0)$ . Wenn Sie dann die Metrik (2) verwenden, um die richtige Zeit zu berechnen, erhalten Sie einfach:

\begin{matrix} (4) & D τ = D T^{'} \end{matrix}

$d\tau = dt' \tag{4}$

Die Eigenzeit zwischen den beiden Raumzeitpunkten ist also gleich der vom Raumschiff aufgezeichneten Zeit. Dies ist ein allgemeines Ergebnis der Relativitätstheorie: Die Eigenzeit ist die verstrichene Zeit für den Trägheitsbeobachter, der sich zwischen den beiden Punkten bewegt.

Und ein letzter Punkt, während wir hier sind. Wenn wir die Ausdrücke (3) und (4) für die Eigenzeit gleichsetzen, erhalten wir:

\begin{matrix} (5) & D T^{'} = \frac{D T}{γ} \end{matrix}

$dt' = \frac{dt}{\gamma} \tag{5}$

das ist der bekannte Ausdruck für die Zeitdilatation eines sich bewegenden Beobachters.

Ich weiß nicht viel über die Minkowski-Metrik, aber ich habe sie zufällig in Ableitungen für die Zeitdilatation auf dieser Website gesehen. Jedenfalls kann ich Ihre Antwort nachvollziehen.
Ich bitte um eine Klarstellung. Wenn ich Ihren ersten Ausdruck zur Berechnung der Geschwindigkeit verwende, erhalte ich mit meinen Messungen des Zeitintervalls und des Raumintervalls (indirekte Methode) dieselbe Geschwindigkeit wie beim Dopplereffekt (direkte Methode)? Und wie würde das funktionieren, wenn ich es vom anderen Schiff aus mit demselben Koordinatensystem, aber der Uhr im Schiff (Eigenzeit) betrachten würde?
@RaghavGupta Es hängt vom Bewegungszustand der Referenzuhr für die Dopplerverschiebung relativ zu Ihrer Uhr ab. Wenn Sie Ihren Frame als "Ruhe" -Frame verwenden und ein Signal basierend auf Ihrer lokalen Uhr vom sich bewegenden Objekt abprallen lassen, erhalten Sie das gleiche Ergebnis wie bei Ihrer "indirekten" Methode. Dies ist fast per Definition so, denn Radar und verwandte Methoden sind die Art und Weise, wie Sie Koordinaten in der Speziellen Relativitätstheorie konstruieren. Wenn Sie andererseits den Doppler-Effekt messen, indem Sie eine Uhr beobachten, die sich mit dem Objekt bewegt, müssen Sie auch seine Zeitdilatation berücksichtigen.
@RaghavGupta Die übliche Doppler-Gleichung muss modifiziert werden, um relativistische Effekte zu berücksichtigen. Einzelheiten finden Sie unter Ableitung des relativistischen Doppler-Effekts .

Verwendung von Geschwindigkeit = Weg/Zeit, um das Zeitintervall mit relativistischer Geschwindigkeit zu erhalten

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