Verwirrende Vorzeichen in Lösungen der Dirac-Gleichung

Eigentlich die Beschreibung unter Berücksichtigung von Lösungen$p^{\mu}=(\pm E,\pm \vec{p})$überwiegt in den meisten Büchern über relativistische Quantenmechanik und QFT wie die klassischen Bjorken, Drell bis hin zu Peskin, Schroeder und vielen anderen. Die Lösung mit dem positiven Vorzeichen auf allen Komponenten des 4-Impulses wird aufgerufen$u(p)\exp(-ipx)$und die Lösung mit negativem Vorzeichen auf allen Komponenten des 4-Impulses heißt$v(p)exp(ipx)$(stets$px = Et-\vec{p}\vec{x}$und mit$E=+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}$) Die Hauptbegründung dafür ist, dass sie die Dirac-Gleichung erfüllen. (Die algebraischen Matrixgleichungen$(\gamma_\mu p^{\mu}-m)u(p)=0$Und$(\gamma_\mu p^{\mu}+m)v(p)=0$kann leicht erfüllt werden, da die Gleichungen, die Sie in Ihrem Beitrag angeben, beweisen (das sind nämlich die Lösungen)).

Der interessantere Punkt ist natürlich, warum diese "Konvention" als Standard angenommen wurde. Es macht die Interpretation der Lösungen$v(p)exp(ipx)$Einfacher. Also was macht$v(p)exp(ipx)$beschreiben ? Wenn$u(p)\exp(-ipx)$beschreiben Elektronen mit 4-Impuls$p^{\mu}$, Dann$v(p)exp(ipx)$soll ein Elektron mit negativer Energie beschreiben$-E$und negatives Momentum$-\vec{p}$. Jetzt kommt die Feyman-Stückelberg-Interpretation ins Spiel. Sie besagt im Prinzip, dass die Emission eines geladenen Teilchens von$-p^{\mu}$entspricht der Absorption eines entgegengesetzt geladenen Impulsteilchens$p^{\mu}$. Andererseits wird die Absorption eines geladenen Teilchens von$-p^{\mu}$entspricht der Emission eines entgegengesetzt geladenen Impulsteilchens$p^{\mu}$. Daher können wir die Lösungen interpretieren$v(p)exp(ipx)$als entgegengesetzt geladene Elektronen, also Positronen mit Impuls$+p^{\mu}$und damit den umständlichen Negativ-Energie-Lösungen einen richtigen Sinn geben.

Blick auf die beiden Lösungen (1)$u(p)\exp(-ipx)$und 2)$v(p)exp(ipx)$Die Vertauschung von Emission und Absorption lässt sich sehr gut beobachten: Die erste Lösung beschreibt eine einlaufende Welle (Absorption), die zweite eine auslaufende Welle (Emission). Dies wäre nicht so offensichtlich, wenn bei der Aufstellung der negativen Energielösungen nicht auch das Vorzeichen des 3-Impulses geändert würde. Außerdem beschreiben fortpflanzende Teilchen mit positivem 4-Impuls einen Phasenvorlauf$px = Et-\vec{p}\vec{x}$mit$E>0$ist notwendig (das Ändern des relativen Vorzeichens zwischen den beiden Teilen wäre umständlich).

Nun, der Preis für die Umdeutung ist, dass Emissions- und Absorptionsprozess von Teilchen vertauscht werden müssen, die Folge davon ist, dass die Elektronen mit negativer Energie zeitlich rückwärts laufen sollen, damit sich die Positronen zeitlich vorwärts bewegen. (Eine andere Interpretation ist die des Dirac-Meeres, die immer noch ziemlich beliebt ist, aber eigentlich ein bisschen altmodisch ist, da sie einige Nachteile hat. Sie interpretiert das Negative neu$-p^{\mu}$Lösungen in ähnlicher Weise als positiv$p^{\mu}$Lösungen.)

Wenn Lösungen$p^{\mu}=(\pm E, \vec{p})$Wäre stattdessen genommen worden, wäre natürlich auch die Feyman-Stückelberg-Interpretation anwendbar, aber die Handhabung der Vorzeichen wäre komplizierter, die Positronen hätten sicherlich positive Energie und negativen Impuls, was a priori kein Problem ist, aber der ganze Formalismus schon komplizierter sein, wenn nicht ziemlich umständlich.

Jedenfalls lassen sich die Lösungen deines Kurses in die Griffiths-Lösungen und umgekehrt durch einen Vorzeichenwechsel in den 3-Impuls überführen, und das ist wie bei freien Teilchen kein Problem, wenn es eine Lösung mit Impuls gibt$\vec{p}$, es existiert auch die Lösung von$-\vec{p}$. Es ist nur die Umbenennung von Lösungen mit unterschiedlichen Indizes.