Verwirrung bei der Beschreibung der Unschärferelation

Das erste ist richtig, das zweite nicht.

Die zweite Definition ¹ beschreibt eigentlich den Beobachtereffekt . Erklärungen, die von Nicht-Experten geschrieben wurden, verwechseln die beiden oft. Ein wesentlicher Unterschied besteht jedoch darin, dass der Beobachtereffekt nur für Situationen gilt, in denen eine externe „Sonde“ (wie ein Teilchen) mit dem System interagiert. Das Unbestimmtheitsprinzip hingegen gilt sogar für ein System, das isoliert ist und mit nichts Äußerem interagiert.

¹ Ein paar andere Leute haben darauf hingewiesen, dass dies nicht wirklich Definitionen von irgendetwas sind, aber ich werde dieses Wort verwenden, um mit Ihrer Frage übereinzustimmen.

Während andere Antworten sagen, dass die erste richtig ist, gibt es etwas, auf das hingewiesen werden sollte. Das Problem ist mit dem Anfang Ihrer Aussage:

Die erste hängt von der Wellenfunktion des Teilchens ab...

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist sehr nützlich, da sie eigentlich nicht von der jeweiligen Wellenfunktion abhängt. Mit anderen Worten,$\Delta x\Delta p\geq\hbar/2$gilt für alle Wellenfunktionen, nicht nur für Sinuswellen.

Es gibt allgemeinere Unsicherheitsprinzipien , die von der Wellenfunktion abhängen, aber diese sind nicht so berühmt.

Eine andere Sache, die Sie beachten sollten, ist, dass keine Ihrer beiden Aussagen das Unsicherheitsprinzip definiert . Ihre erste Aussage kommt der Richtigkeit am nächsten, aber selbst dann ist es eher eine Anwendung als eine Definition.

Außerdem ist die Unschärferelation keine Aussage darüber, wie "sicher" oder "zuversichtlich" wir in Bezug auf die Position und den Impuls eines Teilchens sind, was in beiden Aussagen eine gemeinsame Idee zu sein scheint.

Bevor ich die Frage beantworte, würde ich HUP zunächst von einem eher technischen Standpunkt aus betrachten:

Die Unschärferelation ist durch die Nichtkommutativität der Messung gegeben. Wenn Sie Wellenfunktion haben$|\psi\rangle$die Messung ändert es in eine andere Wellenfunktion$|\alpha\rangle$- das ist der berühmte Kollaps der Wellenfunktion - und produziert Zahl$a$, beispielsweise Impulskomponente des Teilchens. Die Messung kann als Operator dargestellt werden:

Was wäre nun, wenn Sie sich entschieden hätten, unmittelbar nach dieser Messung eine andere Menge zu messen? Wieder messen Sie den Wert von$b$und reduzieren Sie die Wellenfunktion auf die Wellenfunktion dieses bestimmten Zustands:

Die Unschärferelation folgt daraus, dass die Messung der Größe$a$zuerst und dann die$b$ist nicht gleichbedeutend damit, es umgekehrt zu machen. Das ist:

Dies zu zeigen, würde einige Zeit in Anspruch nehmen, aber intuitiv ergibt dies Sinn. Wenn das Teilchen einen bestimmten Mengenwert haben könnte$a$Und$b$Gleichzeitig sollte die Messung diese beiden Werte ergeben. Da die Werte aber schon vorgegeben sind, sollte es egal sein, welche man zuerst misst. Wir wissen jedoch, dass dies der Fall ist, und daher kann das Teilchen nicht in einem Zustand mit einem bestimmten Wert von sein$a$Und$b$gleichzeitig. Diese beiden Werte sind einfach nicht kompatibel. Befindet sich das Teilchen im Zustand des bestimmten Werts von$a$, dann darf es sich nicht im Zustand eines bestimmten Werts von befinden$b$. Das bekannteste Beispiel für solche Größen sind Position und Impuls, über die Sie geschrieben haben.

Dies ist jedoch nicht wirklich eine Eigenschaft der Wellenfunktion des Teilchens als solchem. Es ist Eigentum der Betreiber$\hat{O}_b$Und$\hat{O}_a$, dh Eigenschaft der Messung selbst. Jedem solchen Operator/Messung sind einige Wellenfunktionen zugeordnet, die Wellenfunktionen bestimmter Werte der gemessenen Größe sind. Und diese den Operatoren/Messungen zugeordneten Wellenfunktionen sind einfach inkompatibel.

Nun zur Beantwortung der Frage:

Die erste "Definition" erfolgt aus Sicht der Wellenfunktion. Es besagt, dass wenn Sie eine Wellenfunktion mit einem bestimmten Positionswert haben, diese keine Funktion mit einem bestimmten Impulswert ist und umgekehrt.

Die zweite „Definition“ wird aus Sicht der Betreiber genommen. Sie besagt, dass die Ortsmessung die Wellenfunktion so verändert, dass sie sich nun im Zustand der Überlagerung vieler Impulse befindet und es keine Antwort darauf gibt, welchen dieser Impulse das Teilchen hat und umgekehrt.

Sie sind daher gleichwertig. Beachten Sie jedoch, dass keine Ihrer "Definitionen" wirklich eine Definition ist. Sie sind eher wie verschiedene Interpretationen von HUP.

Sie sind tatsächlich beide richtig, aber die Beziehung ist nicht offensichtlich. Heisenberg erläuterte sein ursprüngliches Argument für die Unschärferelation mit einem Gedankenexperiment namens Heisenbergs Mikroskop, das im Wesentlichen das zweite Argument war, das etwas gründlicher ausgedrückt wurde. Heisenberg führte das Argument weiter und zeigte, dass es zu einer reductio ad absurdum führt , was bedeutet, dass Ort und Impuls keine genauen Größen sind, wie in der klassischen Mechanik angenommen, und nur durch Wahrscheinlichkeit definiert werden können. Seine Argumentation zeigt, dass es hier ums Prinzip geht, nicht um technologische Beschränkungen.

Ein Beobachter versucht, die Position und den Impuls eines Elektrons mit bekanntem Impuls zu messen, indem er ein Photon davon abprallen lässt. Wenn das Photon eine niedrige Energie hat, so dass es den Impuls des Elektrons nicht stört, dann hat es eine lange Wellenlänge und die Position kann nicht genau bestimmt werden. Wenn das Photon eine kurze Wellenlänge und eine entsprechend hohe Energie hat, kann die Position genau gemessen werden, aber das Photon streut zufällig, und ein unbekannter Impuls wird auf das Elektron übertragen.

Heisenberg stellte dann fest, dass jeder Versuch, den auf das Mikroskop übertragenen Impuls zu messen, zwangsläufig zu einem Verlust der Kenntnis der Position des Mikroskops führt. Ebenso führt eine bessere Messung der Position des Mikroskops zu einem Verlust an Wissen über seinen Impuls. Versuche zur genaueren Messung einer Eigenschaft führen zwangsläufig zu einer weniger genauen Bestimmung der anderen. Dies gilt für den Apparat und für jeden weiteren Apparat, der zum Messen des Apparats verwendet wird, und so weiter ins Unendliche .

Folglich können Ort und Impuls eines Elektrons im Allgemeinen nur in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen angegeben werden, wobei je genauer die Wahrscheinlichkeit der einen Eigenschaft ist, desto ungenauer die andere.

Dieses Argument kann (wie auch andere) verwendet werden, um die probabilistische Struktur der Quantenmechanik zu motivieren, die auf dem (mathematischen) Prinzip basiert, dass Wahrscheinlichkeiten in Form von Wellenfunktionen ausgedrückt werden können, die der Born-Regel gehorchen. Daraus lässt sich der Zusammenhang herleiten , der heute als Heisenbergsche Unschärferelation bezeichnet wird:

• Unsicherheit der Position multipliziert mit Unsicherheit des Impulses ist größer als die Plancksche Konstante dividiert durch 4$\pi$

Die Ableitung wurde nicht von Heisenberg, sondern von Earle Hesse Kennard im Jahr 1927 angegeben.

Ihre erste Interpretation ist richtig, da die zweite lediglich impliziert, dass die Beobachtungsfähigkeiten die einzigen Dinge sind, die unsere Messungen des Impulses und der Position von Teilchen zu beeinflussen scheinen. Das ist nicht der Fall. HUP ist nicht durch unsere technologischen Fähigkeiten begrenzt, sondern ist integraler Bestandteil der gesamten Quantenmechanik, dh es ist so gut wie ein Gesetz. Ich habe oft festgestellt, dass der zweite verwendet wird, um das Prinzip denen zu erklären, die anfänglich ein probabilistisches Universum leugnen und an absolute Messungen glauben (wie ich ;D)

Die erste Interpretation verwendet die Fourier-Reihe (für eine detaillierte und fabelhafte Beschreibung siehe hier ) und zeigt ein fortgeschritteneres Verständnis dafür, wie uns schließlich das Kombinieren (oder vielmehr Dekonstruieren für Fourier) von Wellen eine Unsicherheit in Position und Geschwindigkeit zeigen kann. Es ist angemessener, da es Ihnen Einblicke in die Mathematik gibt und uns hilft zu verstehen, dass HUP die Erklärung für ein Phänomen ist.

Als Prof. hat mir einmal gesagt: Ein Universum mit HUP kann zu vielen fabelhaften Dingen führen, aber ein Universum mit den Gesetzen der Quantenmechanik muss von HUP ausgehen

Bearbeiten: Untersuchen Sie den Beobachtereffekt , wie in der Antwort von David Z angegeben. Hab das hier verpasst.

Die Grundvoraussetzung der Quantenmechanik ist, dass jedes subatomare Teilchen eine Welle ist (oder damit verbunden ist). Genauer gesagt ein Wellenpaket endlicher Größe. Ist die Welle sehr lang, können Frequenz und Wellenlänge (aber nicht die Position) hochgenau bestimmt werden . Wenn das Paket kurz ist, sagt die Fourier-Analyse, dass es als Überlagerung vieler langer Wellen mit einer Streuung von Frequenzen (und Energien) beschrieben werden kann.