Warum ist es unmöglich, Ort und Impuls gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu messen?

Wenn jemand fragt : „Ist es in der Quantentheorie wirklich unmöglich , Ort und Impuls gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu messen ? Schwung ?". Diese Wörter haben jeweils mehrere Bedeutungen in der Quantentheorie, die sich in Literatur und experimenteller Praxis widerspiegeln. In gewissem Sinne ist eine simultane und beliebig genaue Messung von Ort und Impuls nicht nur möglich, sondern wird in vielen Quantenlabors, zum Beispiel Quantenoptiklabors, routinemäßig durchgeführt. Eine solche Messung ist in der Tat der Kern moderner Quantenanwendungen wie der Quantenschlüsselverteilung.

Ich denke, es ist am besten, zuerst klarzustellen, was die verschiedenen Bedeutungen von Messung , Position , Impuls in tatsächlichen Anwendungen und in der Literatur sind, und dann Beispiele für die verschiedenen experimentellen Verfahren zu geben, die als "Messung der Position" usw. bezeichnet werden. Wichtig ist zu verstehen, was getan wird; der Rest ist nur Semantik.

Lassen Sie mich Schritt für Schritt dorthin gelangen. Die folgende Antwort fasst zusammen, was Sie an aktuellen Artikeln aus wissenschaftlichen Zeitschriften und aktuellen Lehrbüchern, Arbeiten und Ergebnissen finden, die ich selbst als Forscher in der Quantenoptik erlebt habe. Alle Referenzen werden in der gesamten Antwort angegeben, einige zusätzliche am Ende. Ich empfehle dringend, dass Sie hingehen und sie lesen . Diese Antwort soll auch das Unsicherheitsprinzip und die gleichzeitige Messung in der Quantentheorie diskutieren . Vielleicht verwenden wir alle in Zukunft eine alternative Theorie, in der denselben experimentellen Tatsachen eine andere Bedeutung gegeben wird; Gegenwärtig werden solche alternativen Theorien vorgeschlagen, und viele Forscher arbeiten tatsächlich an Alternativen. Schließlich versucht diese Antwort, Terminologie zu vermeidenDebatten, die die experimentelle Laborseite der Sache erklären. Warnungen zur Terminologie werden durchgehend gegeben. (Ich meine aber nicht, dass Terminologie nicht wichtig ist: Unterschiedliche Terminologien können unterschiedliche Forschungsrichtungen inspirieren.)

Wir müssen vorsichtig sein, denn unser heutiges Verständnis der Unschärferelation unterscheidet sich stark von dem, was die Menschen in den 1930er und 1950er Jahren sahen. Das moderne Verständnis wird auch in der modernen experimentellen Praxis bestätigt. Es sind zwei Hauptpunkte zu klären.

1. Was genau meinen wir mit „Messung“ und mit „Präzision“ oder „$\Delta x$"?

Das Gesamtbild ist folgendes:

1. Wir können eine Kopie eines physischen Systems gemäß einem bestimmten Protokoll erstellen. Wir sagen, dass das System in einem bestimmten Zustand (im Allgemeinen dargestellt durch eine Dichtematrix) präpariert wurde$\pmb{\rho}$). Dann führen wir eine bestimmte Operation durch, die zu einem Ergebnis führt. Wir sagen, dass wir eine Instanz einer Messung auf dem System durchgeführt haben (im Allgemeinen dargestellt durch eine sogenannte positiv-operatorbewertete Messung $\{\pmb{O}_i\}$, Wo$i$kennzeichnet die möglichen Ergebnisse).

2. Wir können das obige Verfahren erneut wiederholen – neue Kopie des Systems – so oft wir wollen, gemäß den gleichen spezifischen Protokollen. Wir machen also viele Fälle der gleichen Art von Messung an Kopien des Systems, die im gleichen Zustand hergestellt wurden. Wir erhalten so eine Sammlung von Messergebnissen, aus denen wir eine Häufigkeitsverteilung und Statistik aufbauen können. Wenn ich in dieser Antwort "Wiederholung einer Messung" sage, meine ich das in diesem spezifischen Sinne.

Es stellt sich auch die Frage, was passiert, wenn wir zwei oder mehr Messungen hintereinander am selben System durchführen . Aber ich werde das hier nicht diskutieren; Siehe die Referenzen am Ende.

Deshalb haben die allgemeinen empirischen Aussagen der Quantentheorie diese Form: „Wenn wir das System im Zustand präparieren$\pmb{\rho}$, und führen Sie die Messung durch$\{\pmb{O}_i\}$, wir haben eine Wahrscheinlichkeit$p_1$Ergebnis zu beobachten$i=1$, eine Wahrscheinlichkeit$p_2$Ergebnis zu beobachten$i=2$, ..." und so weiter (mit geeigneten kontinuierlichen Grenzwerten für kontinuierliche Ergebnisse).

Nun gibt es eine Messgenauigkeit/einen Messfehler, der mit jeder einzelnen Instanz der Messung verbunden ist, und auch eine Variabilität der Ergebnisse bei Wiederholungen der Messung. Die erste Art von Fehlern kann beliebig klein gemacht werden. Die Variabilität über Wiederholungen hinweg scheint jedoch im Allgemeinen nicht unter einen Betrag ungleich Null reduzierbar zu sein, der von dem spezifischen Zustand und der spezifischen Messung abhängt. Diese letztere Variabilität ist es, was die "$\Delta x$" in der Heisenberg-Formel bezieht sich auf .

Wenn wir also sagen "kann nicht mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden", meinen wir genauer, dass "seine Variabilität über Messwiederholungen hinweg nicht beliebig niedrig gemacht werden kann". Das grundlegende Mysterium der Quantenmechanik ist das – systematische – Fehlen der Reproduzierbarkeit über Messinstanzen hinweg. Aber der Fehler im Ergebnis jeder einzelnen Instanz hat keine theoretische Untergrenze.

Natürlich beeinflusst diese Situation unsere Vorhersagefähigkeiten, denn immer wenn wir die gleiche Art von Messung an einem System wiederholen, das auf die gleiche Art von Zustand vorbereitet ist, wissen wir nicht wirklich, was uns im Inneren erwartet$\Delta x$.

Auf diese wichtige Unterscheidung zwischen Einzel- und Mehrfachmessungen wurde erstmals 1970 von Ballentine hingewiesen:

• Ballentine: Die statistische Interpretation der Quantenmechanik , Rev. Mod. Phys. 42 (1970) 358 ( andere Kopie )

siehe dort insbesondere die sehr anschauliche Abb. 2. Und es geht nicht um „Interpretation“, wie der Titel heute vermuten lässt. Es ist eine experimentelle Tatsache. Eindeutige experimentelle Beispiele für diese Unterscheidung finden sich beispielsweise in

• Leonhardt: Messung des Quantenzustands des Lichts (Cambridge 1997)

siehe zB dort Abb. 2.1 und deren Erläuterung. Auch die Fortgeschrittenen

• Mandel, Wolf: Optische Kohärenz und Quantenoptik (Cambridge 2008).

Siehe auch die unten aufgeführten Lehrbücher.

Die Unterscheidung zwischen Fehler einer Messinstanz und Variabilität über Messinstanzen hinweg wird auch deutlich, wenn man an ein Stern-Gerlach-Experiment denkt. Angenommen, wir bereiten eine Drehung im Staat vor$x+$und wir messen es in der Richtung$y$. Die Messung ergibt nur einen von zwei deutlich unterschiedlichen Flecken, die einem der Ergebnisse entsprechen$+\hbar/2$oder$-\hbar/2$im$y$Richtung. Dieses Ergebnis kann in der Praxis einige Fehler enthalten, aber wir können im Prinzip klar unterscheiden, ob dies der Fall ist$+\hbar/2$oder$-\hbar/2$. Allerdings, wenn wir eine neue Drehung im Staat vorbereiten$x+$und messen$y$Auch hier können wir sehr wohl das gegenteilige Ergebnis finden – wiederum sehr genau gemessen. Über viele Messungen beobachten wir diese$+$Und$-$Ergebnisse jeweils etwa 50%. Die Standardabweichung ist$\hbar/2$, und das ist in der Tat die "$\Delta S_y$" durch die Quantenformeln gegeben: Sie beziehen sich auf Messwiederholungen, nicht auf einen einzigen Fall, in dem Sie ein einzelnes Elektron durch die Apparatur schicken.

Es muss betont werden, dass einige Autoren (z . B. Leonhardt oben) mit dem Begriff „Messergebnis“ nicht das Ergebnis eines einzelnen Experiments, sondern den Mittelwert meinen$\bar{x}$gefunden in mehreren Wiederholungen eines Experiments. Natürlich ist dieser Durchschnittswert mit Unsicherheit behaftet$\Delta x$. Hier gibt es keinen Widerspruch, nur eine andere Terminologie. Sie können „Messung“ nennen, wie Sie wollen – seien Sie einfach präzise, ​​wenn Sie erklären, was Ihr Versuchsprotokoll ist. Einige Autoren verwenden den Begriff "One-Shot-Messung", um die Unterscheidung deutlich zu machen; Überprüfen Sie als Beispiel diese Titel:

• Pyshkin et al: Grundzustandskühlung von Quantensystemen über eine One-Shot-Messung , Phys. Rev. A 93 (2016) 032120 ( arXiv )

• Yung et al: One-Shot Detection Limits of Quantum Illumination with Discrete Signals , npj Quantum Inf. 6 (2020) 75 ( arXiv ).

Die Tatsache, dass, obwohl die Vorhersageunsicherheit$\Delta x$ist endlich, wir können unendliche Präzision in einer einzigen (One-Shot) Messung haben, ist nicht wertlos, aber sehr wichtig in Anwendungen wie der Quantenschlüsselverteilung . In vielen Schlüsselverteilungsprotokollen vergleichen die beiden Schlüsselteilungsparteien die genauen Werte$x$sie erhielten Einzelmessungen ihrer verschränkten Zustände. Diese Werte werden innerhalb ihres Einzelmessfehlers korreliert, der viel kleiner ist als die Vorhersageunsicherheit$\Delta x$. Die Anwesenheit eines Lauschers würde diese Korrelation zerstören. Die beiden Parteien können also wissen, dass es sich um einen Lauscher handelt, wenn sie sehen, dass ihre Messwerte nur innerhalb übereinstimmen$\Delta x$, anstatt innerhalb des viel kleineren Einzelinstanz-Messfehlers zu liegen. Dieses Schema würde nicht funktionieren, wenn der Einzelinstanz-Messfehler vorhanden wäre$\Delta x$. Siehe zum Beispiel

• Reid: Quantenkryptographie mit einem vorbestimmten Schlüssel unter Verwendung kontinuierlich variabler Einstein-Podolsky-Rosen-Korrelationen , Phys. Rev. A 62 (2000) 062308 ( arXiv )

• Grosshans et al: Quantum Key Distribution Using Gaussian-Modulated Coherent States , Nature 421 (2003) 238 ( arXiv ). In Abbildung 2 sieht man sehr gut den Unterschied zwischen Einzelmessfehler und Streuung$\Delta x$über Messungen.

• Madsen et al: Kontinuierliche variable Quantenschlüsselverteilung mit modulierten verschränkten Zuständen (freier Zugang), Nat. Komm. 3 (2012) 1083. Siehe insbesondere Abb. 4 und deren Erläuterung.

2. Was genau ist ein „Ortsmaß“ oder ein „Impulsmaß“?

In der klassischen Mechanik gibt es nur eine Messung (auch wenn sie mit unterschiedlichen technischen Mitteln realisiert werden kann) einer bestimmten Größe$Q$, wie z. B. Position oder Spin oder Impuls. Und die klassische Mechanik sagt, dass sowohl der Fehler in einem Messfall als auch die Variabilität zwischen den Instanzen so gering wie möglich gemacht werden können.

In der Quantentheorie gibt es viele verschiedene experimentelle Protokolle, die wir aus verschiedenen Gründen als "Messungen" dieser Größe interpretieren können$Q$. Normalerweise ergeben sie alle den gleichen Mittelwert über Wiederholungen (für einen bestimmten Zustand), unterscheiden sich jedoch in anderen statistischen Eigenschaften wie der Varianz. Aus diesem Grund und wegen der oben erläuterten Variabilität protestierte Bell (des berühmten Bellschen Satzes ), dass wir diese experimentellen Verfahren eigentlich nicht "Messungen" nennen sollten:

• Bell: Against „Measurement“ ( andere Kopie ), in Miller, Hrsg.: Sixty-Two Years of Uncertainty: Historical, Philosophical, and Physical Inquiries into the Foundations of Quantum Mechanics (Plenum 1990).

Insbesondere in der klassischen Physik gibt es eine gemeinsame, simultane Messung von Ort und Impuls. In der Quantentheorie gibt es mehrere Messprotokolle, die als gemeinsame, simultane Messungen von Ort und Impuls interpretiert werden können , in dem Sinne, dass jede Instanz einer solchen Messung zwei Werte liefert, der eine ist der Ort, der andere der Impuls. In der klassischen Grenze werden sie zur klassischen simultanen Messung von$x$Und$p$. Auf diese Möglichkeit wurde erstmals 1965 von Arthurs & Kelly hingewiesen:

• Arthurs, Kelly: Zur simultanen Messung eines Paares konjugierter Observablen , Bell Syst. Technik. J. 44 (1965) 725 ( andere Kopie ).

und weiter diskutiert, zum Beispiel in

• Stenholm: Gleichzeitige Messung konjugierter Variablen , Ann. Phys. (NY) 218 ​​(1992) 233.

Diese gleichzeitige Messung ist nicht dargestellt$\hat{x}$Und$\hat{p}$, sondern von zwei Pendeloperatoren$(\hat{X}, \hat{P})$befriedigend$\hat{X}+\hat{x}=\hat{a}$,$\hat{P}+\hat{p}=\hat{b}$, für speziell ausgewählte$\hat{a}, \hat{b}$. Der Punkt ist, dass der gemeinsame Betreiber$(\hat{X}, \hat{P})$kann zu Recht als gleichzeitige Messung von Ort und Impuls bezeichnet werden, weil es sich auf diese Messung im klassischen Grenzfall reduziert (und offensichtlich haben wir es getan$\bar{X}=\bar{x}, \bar{P}=\bar{p}$). Tatsächlich könnten wir das anhand der obigen Gleichungen sehr gut sagen$\hat{x},\hat{p}$sind definiert in Bezug auf$\hat{X},\hat{P}$, nicht umgekehrt.

Diese Art der simultanen Messung, die für beliebige konjugierte Variablenpaare möglich ist, nicht nur für Ort und Impuls, ist keine theoretische Marotte, sondern tägliche Routinemessung beispielsweise in Quantenoptik-Laboren. Es wird unter anderem für die Quantentomographie verwendet. Eine der ersten experimentellen Realisierungen erfolgte meines Wissens 1984:

• Walker, Carroll: Gleichzeitige Phasen- und Amplitudenmessungen an optischen Signalen unter Verwendung eines Mehrtorübergangs , Electron. Lette. 20 (1984) 981, 1075.

Ausführliche theoretische und experimentelle Beschreibungen dazu finden Sie in Leonhardts Buch oben, Kapitel 6, mit dem bezeichnenden Titel „ Gleichzeitige Messung von Ort und Impuls “.

Aber wie gesagt, es gibt mehrere verschiedene Protokolle, die als gleichzeitige Messung von konjugierten Observablen bezeichnet werden können, die verschiedenen Wahlmöglichkeiten entsprechen$\hat{a},\hat{b}$. Interessant ist, wie sich diese Messungen unterscheiden. Sie können als ein Kontinuum zwischen zwei Extremen angesehen werden (siehe Referenzen oben):

– Auf der einen Seite die Variabilität über Messwiederholungen von$X$hat eine untere Grenze (die vom Zustand des Systems abhängt), während die Variabilität von$P$ist unendlich. Im Grunde ist es so, als würden wir messen$X$ohne zu messen$P$. Dies entspricht dem traditionellen$\hat{x}$.

– Das andere Extrem ist die Variabilität über Messwiederholungen von$P$hat eine untere Grenze, während die Variabilität für$X$ist unendlich. Es ist also, als würden wir messen$P$ohne zu messen$X$. Dies entspricht dem traditionellen$\hat{p}$.

– Dazwischen gibt es Messprotokolle, die immer mehr Variabilität für z$X$über Messinstanzen und immer weniger Variabilität für$P$. Dieses „Kontinuum“ von Messprotokollen interpoliert zwischen den beiden obigen Extremen. Dazwischen gibt es einen "Sweet Spot", an dem wir eine gleichzeitige Messung beider Größen mit einer endlichen Variabilität für jede haben. Das Produkt ihrer Variabilitäten,$\Delta X\ \Delta P$, denn dieses „Sweet-Spot-Messprotokoll“ erfüllt eine ähnliche Ungleichung wie die wohlbekannte für konjugierte Variablen, jedoch mit einer oberen Grenze, die etwas größer als die traditionelle ist$\hbar/2$(nur doppelt so viel, siehe Gl. (12) in Arthurs & Kelly). Es gibt also einen Preis für die Fähigkeit, sie gleichzeitig zu messen.

Ein solches „Kontinuum“ simultaner Messungen ist auch beim berühmten Doppelspaltexperiment möglich. Dies wird durch die Verwendung von "verrauschten" Detektoren an den Schlitzen realisiert. Es gibt Anordnungen, bei denen wir jenseits des Zweispaltschirms eine schwache Interferenz beobachten können und gleichzeitig eine gewisse Gewissheit darüber haben, an welchem ​​Spalt ein Photon detektiert werden könnte. Siehe zum Beispiel:

• Wootters, Zurek: Komplementarität im Doppelspaltexperiment: Quantennichtseparierbarkeit und eine quantitative Aussage zum Bohrschen Prinzip , Phys. Rev. D 192 (1979) 473

• Banaszek et al: Quantenmechanisches Welche-Wege-Experiment mit internem Freiheitsgrad , Nat. Komm. 4 (2013) 2594 ( arXiv )

• Chiao et al: Quanten-Nichtlokalität in Zwei-Photonen-Experimenten in Berkeley , Quant. Halbklasse. Option. 73 (1995) 259 ( arXiv ), für Variationen dieses Experiments.

Wir könnten versucht sein zu fragen: "Okay, aber was ist das wirkliche Maß für Position und Momentum unter all diesen?". Aber innerhalb der Quantentheorie ist dies eine bedeutungslose Frage, ähnlich der Frage: "In welchem ​​Bezugsrahmen sind diese beiden Ereignisse wirklich gleichzeitig?" innerhalb der Relativitätstheorie. Die klassischen Begriffe und Größen von Ort und Impuls existieren in der Quantentheorie einfach nicht. Wir haben mehrereandere Begriffe und Größen, die einige Ähnlichkeiten mit den klassischen haben. Was ist zu beachten? es hängt vom Kontext und der Anwendung ab. Die Situation hat tatsächlich einige Ähnlichkeiten mit der für "Gleichzeitigkeit" in der Relativitätstheorie: Es gibt "unterschiedliche Gleichzeitigkeiten", abhängig vom Bezugssystem; Welche wir wählen, hängt von der Problemstellung und Anwendung ab.

In der Quantentheorie können wir nicht wirklich sagen „das System hat diese Werte“ oder „das sind die tatsächlichen Werte“. Alles, was wir sagen können, ist, dass, wenn wir das und das mit dem System machen, dann das und das passiert. Aus diesem Grund sprechen viele Quantenphysiker (siehe zB Busch et al. unten) lieber von „Eingriff in ein System“ als von „Messung eines Systems“ (ich persönlich vermeide auch den Begriff „Messung“).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine simultane und beliebig genaue Messung von Ort und Impuls möglich – und sogar Routine – ist.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also, dass wir in einer einzigen Messinstanz tatsächlich Ort und Impuls gleichzeitig und mit beliebiger Genauigkeit messen können (und tun!) . Diese Tatsache ist bei Anwendungen wie der oben erwähnten Quantenschlüsselverteilung wichtig.

Aber wir beobachten auch eine unvermeidliche Variabilität bei identischen Wiederholungen einer solchen Messung. Diese Variabilität macht die willkürliche Einzelmessungsgenauigkeit in anderen Anwendungen unwichtig, wo stattdessen Konsistenz durch Wiederholungen erforderlich ist.

Außerdem müssen wir angeben, welche der gleichzeitigen Messungen von Impuls und Ort wir durchführen: Es gibt nicht nur eine, wie in der klassischen Physik.

Um sich ein Bild davon zu machen, können Sie sich zwei Quantenforscher vorstellen, die sich unterhalten:

– „Ich habe gestern eine simultane Messung von Ort und Impuls nach dem experimentellen Verfahren durchgeführt$M$und Vorbereiten des Systems im Zustand$S$.“
– „Welche Werte haben Sie vor der Messung erwartet?“
– „Die Wahrscheinlichkeitsdichte, Werte zu erhalten$x,p$war nach der Quantentheorie$P(x,p)=\dotso$. Sein Mittelwert war$(\bar{x},\bar{p}) = (30\cdot 10^{-17}\ \mathrm{m},\ 893\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$und seine Standardabweichungen waren$(\Delta x, \Delta p)=(1\cdot 10^{-17}\ \textrm{m},\ 1\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$, die Quantengrenze. Also ich hatte die erwartet$x$Ergebnis irgendwo dazwischen zu landen$29 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{m}$Und$31 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{m}$; und das$p$Ergebnis irgendwo dazwischen$892 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$Und$894 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$." (Beachten Sie, wie das Produkt der Standardabweichungen ist$\hbar\approx 10^{-34}\ \mathrm{J\ s}$.)
– „Und welches Ergebnis hat die Messung ergeben?“
- "Ich fand$x=(31.029\pm 0.00001)\cdot 10^{-17}\ \textrm{m}$Und$p=(893.476 \pm 0.00005)\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$, bis innerhalb der Breite der Zifferblätter. Sie stimmen mit den Vorhersagebereichen der Theorie überein.“
– „Werden Sie diesen Aufbau also in Ihrer Anwendung verwenden?“
– „Nein. Ich muss vorhersagen können$x$mit etwas mehr Präzision, auch wenn das bedeutet, dass meine Vorhersage von$p$verschlechtert sich etwas. Also werde ich ein Setup verwenden, das Abweichungen aufweist$(\Delta x, \Delta p)=(0.1\cdot 10^{-17}\ \textrm{m},\ 10\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$stattdessen."

Auch wenn die Antwort auf Ihre Frage positiv ist, müssen wir betonen, dass: (1) das Heisenbergsche Prinzip nicht verletzt wird , weil es sich auf die Variabilität über Messwiederholungen bezieht, nicht auf den Fehler in einer einzelnen Messung. (2) Es ist immer noch wahr, dass die Betreiber$\hat{x}$Und$\hat{p}$können nicht gleichzeitig gemessen werden . Was wir messen, ist ein etwas anderer Operator; aber dieser Operator kann mit Recht eine gemeinsame Messung von Ort und Impuls genannt werden, weil er sich im klassischen Limes auf diese Messung reduziert.

Altmodische Aussagen zur Unschärferelation sind daher mit Vorsicht zu genießen. Wenn wir präzisieren, was wir unter „Unsicherheit“ und „Messung“ verstehen, entpuppen sie sich als neue, unerwartete und sehr spannende Gesichter.

Hier sind einige gute Bücher, die diese Angelegenheiten mit Klarheit, Präzision und experimentellen Beweisen diskutieren:

• de Muynck: Grundlagen der Quantenmechanik, ein empirischer Ansatz (Kluwer 2004)

• Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods (Kluwer 2002) ( andere Kopie )

• Holevo: Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory (2. Aufl. Edizioni della Normale, Pisa, 2011)

• Busch, Grabowski, Lahti: Operative Quantenphysik (Springer 1995)

• Nielsen, Chuang: Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge 2010) ( andere Kopie )

• Bengtsson, Życzkowski: Geometrie von Quantenzuständen: Eine Einführung in die Quantenverschränkung (2. Aufl. Cambridge 2017).

Sie können nicht gleichzeitig genaue Werte messen, da es nicht gleichzeitig genaue Werte für beide gibt.

Alle Eigenschaften beispielsweise eines Elektrons und aus der Wellenfunktion des Elektrons abgeleitet werden,$\Psi(\vec x)$. Die Wellenfunktion ist ein mathematisches Objekt, das den gesamten Raum abdeckt. Es hat an jedem Punkt einen komplexen Wert.

Das Elektron hat keine genaue Position. Stattdessen hat es eine Wahrscheinlichkeit, an jedem Punkt gefunden zu werden,$\vec x$, im Weltraum beim Messen. Diese Wahrscheinlichkeit ist$\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)$. (Das ist ein wenig locker. Wirklich die Wahrscheinlichkeit, in einer kleinen Region gefunden zu werden$d \vec x$Ist$\int \Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x) d \vec x$.)

Die Wahrscheinlichkeit, irgendwo gefunden zu werden, ist$1$, und so$\int\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)dx = 1$. Eine Funktion wie diese muss sich nähern$0$überall außer in einer endlichen Region.

Es gibt einen Grenzfall, wo es so ist$0$überall außer an einem Punkt, wo es unendlich ist. In diesem Fall hat es eine bestimmte Position.

Sie können auch den Schwung aus$\Psi(\vec x)$. Auch hier gibt es kein bestimmtes Momentum, außer in einem Grenzfall.

Allgemein,$p = h\lambda$. Das bedeutet, dass ein Elektron mit einem bestimmten Impuls eine sinusförmige Wellenfunktion mit konstanter Amplitude und einer bestimmten Wellenlänge haben würde. Eine solche Wellenfunktion würde den gesamten Raum abdecken.$\Psi(\vec x) = A e^{i \vec p \cdot \vec x}$. Dies ist nicht möglich, außer als Grenzfall, in dem sich die Amplitude nähert$0$. Aber in diesem Grenzfall hat die Wellenfunktion überall die gleiche (infinitesimale) Amplitude. Das Elektron hat überhaupt keinen Ort. Es ist über den ganzen Raum verteilt.

Diese Grenzfälle stehen an entgegengesetzten Enden einer Reihe von Möglichkeiten. Die meisten Wellenfunktionen sind über einem endlichen Bereich ungleich Null. Oder zumindest bei einer kleinen Zahl$\epsilon$,$|\Psi(\vec x)| > \epsilon$nur über einen endlichen Bereich.

Das Elektron wird in dieser endlichen Region gefunden, aber es hat keinen genauen Ort. Nur eine Region, in der es zu finden ist.

Ebenso hat es kein bestimmtes Momentum. Sie können die Fourier-Analyse verwenden, um eine Funktion in eine Summe von Funktionen der Form zu zerlegen$A e^{i \vec p \cdot \vec x}$.$\Psi(\vec x) = \sum A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x}$. Im Fall einer nichtperiodischen Funktion wie hier ist es eine unendliche Summe von infinitesimalen Funktionen. Sie wird als Integral und nicht als Summe ausgedrückt.$\Psi(\vec x) = \int A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x} d \vec p$

Sie können sich vorstellen$A(\vec p)$als eine andere Möglichkeit, die Wellenfunktion auszudrücken. Dies ist eine weitere mathematische Funktion, die über diesen Satz aller möglichen Impulse definiert ist. Es ist nützlich, um den Impuls des Elektrons zu beschreiben.

Das lässt sich zeigen$A(\vec p)$hat viele der gleichen Arten von Eigenschaften, die$\Psi(\vec x)$tut. Zum Beispiel hat die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden, einen Impuls$\vec p$ist (wieder locker)$A(\vec p)^*A(\vec p)$.

Es kann gezeigt werden$\int A(\vec p)^*A(\vec p)d\vec p = 1$. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, das Elektron mit einem gewissen Impuls zu finden, ist$1$. Es kann gezeigt werden, dass die Funktion nur für einen endlichen Bereich von Null ungleich Null sein kann$\vec p$'S.

Es gibt einen Grenzfall wo wo$A(\vec p)$Ist$0$überall außer einem Wert von$\vec p$. In diesem Grenzfall hat das Elektron eine bestimmte$\vec p$.

Aber der übliche Fall ist, dass das Elektron keines von beiden hat$\vec x$, noch eine bestimmte$\vec p$. Das heißt, wenn die Wellenfunktion ausgedrückt wird als$\Psi(\vec x)$, es hat eine endliche Region wo$\Psi(\vec x) > 0$. In diesem Fall stellt sich heraus, dass wenn die Wellenfunktion ausgedrückt wird als$A(\vec p)$, es gibt einen endlichen Bereich von$\vec p$ist wo$A(\vec p) > 0$.

Das Unsicherheitsprinzip ist eine wichtige Beziehung zwischen der Größe dieser beiden endlichen Bereiche.$\Delta \vec x \Delta \vec p > \hbar/2$.

Dieses Video von 3blue1brown veranschaulicht die Idee. Insbesondere zeigt es, wie die Unschärferelation aus den Welleneigenschaften stammt.

Nachtrag - Ich habe keinen Bereich angesprochen, in dem die Antwort von pglpm wirklich glänzt. Ich dachte, ich würde meine 2 Cent hinzufügen.

Angenommen, Sie haben ein Elektron in einem Zustand vorbereitet, der durch eine bestimmte Wellenfunktion gegeben ist.$\Psi(\vec x)$. Ort und Impuls können als bestimmte Werte berechnet werden$\vec x$Und$\vec p$, mit Unsicherheiten$\Delta \vec x$Und$\Delta \vec p$. Beachten Sie, dass Unsicherheiten oft als Standardabweichungen der erwarteten Ergebnisse ausgedrückt werden. Dies bedeutet, dass Position und Impuls vorhergesagt werden können$\vec x \pm \Delta x$Und$\vec p \pm \Delta p$.

Angenommen, das Elektron kommt gerade auf einer freistehenden Dünnfilmoberfläche an, die viele Atome enthält.

Wenn$\Delta \vec x$groß ist, lässt sich nicht vorhersagen, auf welches Atom das Elektron treffen wird. Trotzdem trifft das Elektron auf ein bestimmtes Atom. Es kann sein, dass das Atom auf eine dauerhafte Weise beeinflusst wird, indem es zum Beispiel herausgeschleudert wird und ein Loch hinterlässt. In diesem Fall ist es möglich, später zurückzugehen und sehr genau herauszufinden, wo sich das Elektron befand.

Wenn$\Delta \vec p$groß ist, ist es nicht möglich vorherzusagen, wie groß der Impuls des Elektrons sein wird. Aber wenn es ein Atom ausstößt, kann es möglich sein, die Flugzeit des gestreuten Elektrons und Atoms zu Detektoren mit hoher räumlicher Auflösung zu messen und einen sehr genauen Wert für den anfänglichen Impuls des Elektrons zu erhalten.

Das Unsicherheitsprinzip schränkt nicht ein, wie genau wir die Ergebnisse dieser Messungen bestimmen können. Es schränkt ein, wie genau wir sie im Voraus vorhersagen können. Wenn Sie viele Elektronen im selben Zustand haben, schränkt dies die Wiederholbarkeit mehrerer Messungen ein.

Unmittelbar nach der Kollision befinden sich Elektron und Atom in neuen Zuständen. Beide Staaten haben eine$\Delta \vec x$Und$\Delta \vec p$. Wann und wo beide ihre Detektoren treffen, ist nicht vorhersehbar. Aber man kann sagen, dass sich die kombinierten Ergebnisse der Positions- und Impulsmessungen des gestreuten Elektrons und Atoms zu einem Impuls summieren, der mit dem anfänglichen Impuls und der Unsicherheit des Elektrons übereinstimmt.

Es ist möglich, sowohl die Position als auch den Impuls eines Teilchens an einer beliebigen Position "gleichzeitig" zu messen, wenn Sie diesen Ausdruck so verstehen, dass er "so schnell hintereinander" bedeutet, dass Sie sicher sein können, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die erste gemessene Größe hat sich durch die Schrödinger-Evolution zwischen den beiden Messungen nicht verändert".

Dies ist jedoch nicht sehr nützlich , da zwischen den beiden Messungen immer eine winzige Verzögerung auftritt und die zweite Messung die aus der ersten Messung gewonnenen Informationen effektiv löscht. Wenn Sie zum Beispiel die Position und dann unmittelbar danach den Impuls messen, können Sie einen sehr genauen Wert für beide Messungen erhalten, aber der Prozess, eine genaue Impulsmessung zu erhalten, ändert die Wellenfunktion so, dass ihre Position nach der Impulsmessung jetzt eine große Unsicherheit aufweist in Bezug auf eine nachfolgende Messung. Die Impulsmessung "löscht" also die Informationen aus der vorherigen Positionsmessung im Sinne einer Unwiederholbarkeit.

Es ist also besser, von der Unfähigkeit zu sprechen, die Position und den Impuls zu diesem Zeitpunkt zu „kennen“, als von der Unfähigkeit, beides zu „messen“ (was tatsächlich möglich ist). Um vollständig zu verstehen, warum, müssen sowohl das Verhalten des "Zustandszusammenbruchs" von Messungen als auch die von Ihnen erwähnte "weite <-> enge" Beziehung zwischen nicht pendelnden Observablen (z. B. über die Fourier-Transformation) verstanden werden.

Das ist für Messungen in extrem schneller Folge. Man könnte nach Messungen fragen, die genau zur gleichen Zeit stattfinden , aber das gerät in philosophische Gewässer darüber, ob zwei Ereignisse auch in der klassischen Physik jemals genau zur gleichen Zeit stattfinden. Wenn Sie versuchen, beide Messungen gleichzeitig durchzuführen, werden Sie in der Praxis immer feststellen, dass das Teilchen entweder mit sehr eng begrenztem Ort oder Impuls und mit großer Unsicherheit in der anderen Größe herauskommt.

Das ist eine sehr tiefgründige Frage, und es dauert Jahre, sie zu verstehen. Ich versuche mein Bestes, um darauf zu antworten.

"Was hindert uns daran, sowohl Position als auch Impuls mit beliebiger Genauigkeit zu messen?"

Ebene 1: Natur. So funktioniert die Natur.

Stufe 2: Teilchen sind weder Welle noch Teilchen. Sie verhalten sich anders als alles, was wir im Alltag sehen. Sie können sich Feynmanns Vortrag auf youtube ansehen, wo er dieses Konzept erklärt. In manchen Experimenten verhalten sie sich wie ein Teilchen und in manchen Experimenten verhalten sie sich wie eine Welle.

Stufe 3: Nach unserem besten Verständnis verhalten sie sich wie ein überall vorhandenes Feld. Wie kann man Ort und Impuls eines Feldes mit unendlicher Sicherheit messen? Diese Betrachtungsweise der Teilchen erklärt alles außer der Schwerkraft.

„Muss sich ein Quantensystem immer ändern, wenn man es beobachtet?“

Das Quantensystem wird in einem der Zustände beobachtet. Vor der Beobachtung stellt das System alle Möglichkeiten gleichzeitig mit unterschiedlichem Gewicht dar. Sie können mehr darüber erfahren, wenn Sie das Pfadintegral studieren.

Das haben andere schon gesagt, aber hier ist die knappe Version: Sie können Ort und Impuls des Elektrons nicht gleichzeitig bestimmen, aus genau demselben Grund, aus dem Sie den Lieblingseisgeschmack des Elektrons nicht bestimmen können, nämlich aus diesem: Das Elektron hat es nicht eine beliebte Eissorte. Ebenso haben die meisten Elektronen meistens keine bestimmte Position oder keinen bestimmten Impuls. Sie können es zwingen, eines davon zu haben (oder zumindest eine sehr gute Annäherung daran), aber dann hat es das andere sicherlich nicht.

Die korrekte Form der Unschärferelation ist, dass das Produkt aus delta x und delta p immer größer oder gleich (hbar)/2 ist. Das bedeutet unter anderem, je genauer wir x kennen, desto ungenauer können wir p kennen.

Das hat nichts mit dem sogenannten Beobachtereffekt zu tun; es hat mit dem wellenartigen Verhalten von Quantenteilchen zu tun.

Um die Geschwindigkeit zu messen, messen Sie die Zeit zwischen zwei Positionen. Wenn Sie eine Geschwindigkeit bestimmt haben, welche der beiden Positionen würden Sie ihr gleichzeitig zuordnen? Sie können es nicht mit beiden Positionen richtig machen. Um es dem Durchschnitt der beiden Positionen zuzuordnen, müssten Sie eine konstante Geschwindigkeit annehmen, aber Sie haben nur die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den beiden Positionen gemessen und können nicht wissen, ob sie zwischen ihnen konstant war.

Ihre Aussage, dass die Unschärferelation aus der Fourier-Transformation stammt, ist ziemlich glatt. Physik ist nicht nur eine Sammlung mathematischer Ergebnisse. QM wurde als Theorie entwickelt, um experimentelle Beobachtungen zu berücksichtigen, die die klassische Mechanik, die Newtonsche oder die Relativistik nicht respektierten. Tatsächlich wiesen sie darauf hin, dass unser Paradigma bezüglich der Natur der Materie falsch war. In der QM wird jede beobachtbare Größe durch eine Operation repräsentiert, die auf einen linearen Funktionenraum wirkt. Die Eigenwerte dieser Operatoren stellen die einzigen zulässigen Messungen dieser Größe dar, die beobachtet werden können. Zum Beispiel Position ($x$), Schwung ($p_x$), Energie ($E$), etc sind alle Operatoren. Die Eigenfunktionen dieser Operatoren stellen den "Zustand" dar, in dem das System vorbereitet wird, sobald eine Messung durchgeführt wird.

Wenn man misst$x$, was man vielleicht mit beliebiger Genauigkeit und Genauigkeit machen kann und einen bestimmten Wert bekommt, wird das Teilchen in einem Eigenzustand des Operators belassen$x$, was eine Dirac-Delta-Funktion ist. Wenn man nun versucht zu messen$p_x$unmittelbar danach gibt es eine gleiche Wahrscheinlichkeit, einen beliebigen Wert zu erhalten$p_x$. Sobald Sie messen$p_x$Ihre vorherige Messung von$x$ist komplett ruiniert. Sie sind überhaupt nicht berechtigt, die Behauptung aufzustellen, dass Sie den Wert kennen$x$. Wenn Sie versuchen zu messen$x$wieder wirst du eine andere antwort bekommen. Dies beschreibt die Unschärferelation. Zu sagen, dass es mit Messgenauigkeit zu tun hat, ist ein Ablenkungsmanöver.

Der OP schrieb:

Ich verstehe das für eine gegebene Wellenfunktion, wenn$\Delta x$ist klein,$\Delta p$groß sein wird und wie dies aus Fourier-Transformationen entsteht. Aber ich verstehe nicht, wie dies irgendjemanden davon abhält, beide gleichzeitig zu messen$x$Und$p$mit unendlicher Präzision.

Dies scheint auf die Frage hinauszulaufen, was "gleichzeitige Messung" bedeutet. Was es bedeutet, zwei Observablen gleichzeitig zu messen$A, B$besteht darin, eine einzelne Messung am System durchzuführen und die Werte zu erhalten$a$Und$b$, so dass sich das System unmittelbar nach der Messung in einem Zustand befindet, in dem der Wert von$A$ist sicherlich$a$und der Wert von$B$ist sicherlich$b$.

Mit anderen Worten, das Ergebnis der Messung ist, dass sich das System in einem simultanen Eigenzustand von befindet$A$Und$B$. Da es keine simultanen Eigenzustände von gibt$x$Und$p$(wie das OP bereits versteht), ist dies für dieses bestimmte Paar von Observablen nicht möglich.

Die Unschärferelation ist keine Einschränkung von „Messungen“, sondern drückt eine grundsätzliche Einschränkung des Universums hinsichtlich seiner Informationskapazität aus. Grob gesagt „ordnet“ das Universum jedem Teilchen sozusagen nur so viele Bits zu, und somit stehen nur so viele Bits zur Verfügung, die zu jedem Zeitpunkt seine tatsächliche Position und seinen Impuls zusammen realisieren können . Dies wird am deutlichsten, wenn es in der - und dies ist eine genauere Form geschrieben wird! - Form mit der Informationsentropie von Ort und Impuls:

was ganz einfach besagt, dass es immer Entropie geben wird - einen Mangel an Informationen im Vergleich zu ihrem klassischen Gegenstück - entweder im einen, im anderen oder in beiden.

Daran ist nicht viel Magie. Das Universum ist einfach sparsam und verschwendet nicht unendlich viele Bits, um die Parameter seiner Teilchen zu beschreiben.

Aus diesem Grund ist es, wie in der anderen Antwort erwähnt, wenn Sie jetzt die Messung einbeziehen , die am besten verstanden wird, die Informationstransaktion zwischen einem System und einem Agenten, und versuchen, beide mit einer höheren Genauigkeit als dem oben genannten Betrag zu messen (etwa 170,18 Bits gemeinsam, wenn sie relativ zu einem Maßstab von 1 m und 1 N·s genommen werden), können Sie die Messung nicht unmittelbar danach wiederholen und die gleichen Werte erhalten. Um denselben Wert zu erhalten, müssten Informationen im Partikel vorhanden sein, damit sie erneut abgerufen werden können, aber dafür ist kein Speicherplatz vorhanden. Was man bekommt ist also Schrott.

Das Unsicherheitsprinzip hat fast nichts mit Messen zu tun. Es ist den Wellenphänomenen eigen, dass, wenn eine Zusammensetzung von Wellen eine bestimmte Frequenz hat, sie eine große Unsicherheit in der Dauer hat und umgekehrt. Technisch gesehen ist eine reine Sinuswelle einer einzelnen Frequenz, die nur vorübergehend anhält, nicht so rein. Wenn es in seine Fourier-Darstellung erweitert wird, findet man eine Dichteverteilung mehrerer Frequenzen.

Die Frequenz und Dauer sind konjugierte Größen der Welle. Ebenso Wellenzahl und Wellenlänge.

Das De-Broglie-Prinzip ermöglicht es uns, einem materiellen Teilchen basierend auf seinem Impuls eine Wellenlänge zuzuordnen. Die klassische Mechanik stellt für Lichtwellen eine Beziehung zwischen Wellenlänge und Impuls her.

Zusammen haben wir, dass "Materiewellen" Impuls und Position als konjugierte Größen haben. Ein Teilchen mit einem schmalen Impulsband muss eine breite Verteilung im Raum haben. Die Born-Interpretation der Teilchenwelle verbindet den Modul ihres Werts mit der Wahrscheinlichkeit, sich an dieser Position zu befinden.

Die Positionsunsicherheit ist die Standardabweichung der Position, die durch ihre Wellenfunktion gegeben ist. Die inverse Fourier-Transformation ist die Wellenfunktion im Impulsraum.

Es kann dann bewiesen werden, dass eine bestimmte Position, dh eine hohe Wahrscheinlichkeitskonzentration, sich um einen bestimmten Punkt zu befinden, erfordert, dass wir eine breite Konzentration von Impulsen haben, dh das Teilchen hat eine Wahrscheinlichkeit, sich in mehreren Impulszuständen zu befinden sind weit auseinander.

Es läuft alles auf die intrinsische Natur von Wellen und Wellen ab, die mit Impuls und Position verbunden sind.

Dies äußert sich messtechnisch auf verschiedene Weise.

Zufällig sagt uns das Unsicherheitsprinzip, dass wir nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zwei beliebige Komponenten des Spin-Winkelimpulses eines Quantenteilchens mit Spin 1/2 kennen können.

Messen$L_x$und wir könnten bekommen$\hbar/2$. Messen Sie es noch ein paar Mal, und Sie erhalten die gleiche Antwort, wiederholen Sie es. Jetzt messen$L_x$und nehme an, Sie bekommen$\hbar/2$, dann messen$L_y$. Es besteht nur eine 50/50-Chance, einen der beiden zulässigen Werte zu erhalten. Messen$L_x$Auch hier haben Sie nur eine 50/50-Chance, erneut zu erhalten$\hbar/2$.

Quantenmechanisch in einem bestimmten Zustand sein$L_x$ist notwendigerweise in mehreren Zuständen von$L_y$oder$L_z$. Man erhält nur dann eine eindeutige Antwort, wenn sich ein Teilchen in einem reinen Zustand einer Quantenobservablen befindet.

In komplizierteren Quantensystemen findet man, dass es nur bestimmte erlaubte Quantenzustände gibt. Die Messung liefert nur bestimmte spezifische Ergebnisse, unabhängig davon, wie der kinematische Wert gemessen wird. Wir beobachten das Unschärfeprinzip nur, wenn wir Beobachtungen machen, dh Messungen durchführen, aber das Verhalten zeigt grundlegende Eigenschaften des Systems und nicht des Messgeräts an.

Als Laie denke ich mich da durch, ohne die Quantenwelt zu beschwören, sondern einfach die Definitionen von „Ort“ und „Geschwindigkeit“.

• Wenn Sie den Impuls messen wollen, müssen Sie die Geschwindigkeit messen.
• Wenn Sie die Geschwindigkeit messen möchten, müssen Sie die Entfernung und die über diese Entfernung benötigte Zeit messen.
• Um die Entfernung zu messen, müssen Sie 2 Positionen messen.
• Wenn Sie 2 Positionen messen, was ist dann "die" Position des Objekts?

Ich stelle mir dieses Problem so vor, als würde man durch ein Fernglas auf ein senkrecht fahrendes Auto schauen. Wenn Sie dies jemals versucht haben, müssen Sie Ihr Fernglas ständig bewegen, um dem fahrenden Auto zu folgen. Dann fragt dich jemand "Wo ist es jetzt?"

Ich denke, wenn Sie das genaue Format der Wellenfunktion in beiden Fällen einschätzen können$x$oder$p$Domäne (Sie können es sicherlich berechnen) und diesen Quantenzustand als die wirkliche Beschreibung seiner Position und seines Impulses betrachten, dann kennen Sie beides. Es ist nur so, dass zu sagen, dass Sie "die Partikelposition genau kennen" normalerweise bedeutet, dass die Wellenfunktion in eine sehr schmale Spitze in der gezwungen (dh kollabiert) wird$x$Domäne, was eine breite Wellenfunktion impliziert$p$Domäne (oder umgekehrt). Es läuft also auf die Semantik des „genau wissen“ hinaus.

Für Welle$\Delta \nu \Delta t$Und$\Delta k \Delta x$sind darauf beschränkt, größer als eine Funktion der Amplitude zu sein. Dies gilt für Schall-, Licht-, Wasserwellen usw. Bei einer Schrödinger-Wellenfunktion kann die Amplitude nicht beliebig klein werden, da die Welle auf 1 normiert werden muss. Daher gibt es einen Minimalwert von$\hbar/2$.

Sobald Sie dies verstanden haben, stellt sich die Frage: „Warum sollten wir die Quantenmechanik verwenden?“. Darauf ist die Antwort, dass es bisher 100% genau ist. Warum das so ist, weiß niemand.