Verwirrung bezüglich Drehbewegung!

Ich denke, das sollte zur Klärung beitragen. Angenommen, Sie nehmen einen ruhenden Stab und wenden eine Kraft an$F$senkrecht zur Stange in einem Abstand$r$kurzzeitig von seinem Schwerpunkt entfernt$\delta t$- kurz genug, dass sich die Ausrichtung der Stange während der Zeit, in der die Kraft ausgeübt wird, nicht wesentlich ändert. Der lineare Impuls der Stange wird

$$F\delta t$$ (aus $F = \mathrm{d}p/\mathrm{d}t$) und sein Drehimpuls wird ungefähr $$rF\delta t$$ (aus $\tau = rF\sin\theta = \mathrm{d}L/\mathrm{d}t$).

Nach diesem Vorgang können Sie dann die kinetische Energie des Stabs berechnen:

$$K = K_\text{lin} + K_\text{rot} = \frac{p^2}{2m} + \frac{L^2}{2I} = \frac{F^2 \delta t^2}{2m} + \frac{r^2 F^2 \delta t^2}{2mL^2/12} = \frac{F^2 \delta t^2}{2m} + \frac{6r^2F^2}{mL^2}\delta t^2\tag{1}$$

Wo$L$ist die Stablänge. Wenn Sie den Stab vom Massenmittelpunkt weg schlagen, erhält er mehr Energie.

Nun, warum ist das so? Nun, denken wir darüber nach, was passiert, wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass sich die Ausrichtung der Stange ändert, wenn die Kraft auf sie ausgeübt wird, wenn die Kraft außermittig ist. Wir wissen, dass der Stab einen Drehimpuls erhält$rF\delta t$rechtzeitig$\delta t$, was der Winkelgeschwindigkeit entspricht

$$\omega = \frac{L}{I} = \frac{rF\delta t}{mL^2/12} = \frac{12rF}{mL^2}\delta t$$

Unter der Annahme, dass das Drehmoment konstant ist, ist auch die Winkelbeschleunigung konstant,

$$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{12rF}{mL^2}$$

und für konstante Winkelbeschleunigung können wir die gesamte Winkelverschiebung berechnen als

$$\Delta \phi = \frac{1}{2}\alpha\Delta t^2 = \frac{6rF}{mL^2}\delta t^2$$

Die dieser Winkelverschiebung entsprechende lineare Verschiebung ist gerade

$$r\Delta\phi = \frac{6r^2 F}{mL^2}\delta t^2$$

Dies bedeutet, dass sich der Punkt, an dem Sie die Kraft anwenden, bewegt, wenn Sie die Kraft außermittig anwenden$\frac{6r^2 F}{mL^2}\delta t^2$weiter als wenn Sie die Kraft in der Mitte anwenden. (Anmerkung: Dies ist null, wenn$r=0$, so wie es sein sollte.)

Arbeit ist Kraft mal Weg, wenn die Kraft konstant ist, was bedeutet, dass die außermittige Kraft aufgrund des vergrößerten Abstands eine kleine Menge zusätzlicher Arbeit relativ zur mittigen Kraft leistet:

$$W = \frac{6r^2 F^2}{mL^2}\delta t^2$$

das ist genau das Gleiche wie die zusätzliche Energiemenge, die der Stab erhält, wenn Sie die Kraft außermittig aus Gleichung (1) anwenden. Dies ist der Ursprung dieser zusätzlichen Energie: die zusätzliche Distanz, die der Angriffspunkt der Kraft zurücklegt.

Ich werde ein Beispiel machen, um die Dinge klarer zu machen.

Nehmen Sie ein Zweikörpersystem, in dem die Teilchen durch einen konstanten Abstand getrennt sind$d$und Masse haben$m_1 = m_2 = m$. Dies ist eine holonome Einschränkung , da

$$| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 | = d$$ mit den Teilchenpositionen $\vec{r}_1$Und $\vec{r}_2$. Dieses System ist also auf 5 Freiheitsgrade (6 minus 1) reduziert. Nehmen wir an, wir wollen dieses System betrachten, wenn es anfänglich in Ruhe ist und die aufgebrachten äußeren Kräfte immer senkrecht zur Rotationsachse zeigen. Das bedeutet, dass die Bewegung des Systems auf eine Ebene beschränkt wird. Nehmen wir ein Koordinatensystem, so dass diese Bewegung in der xy-Ebene liegt.

Wir haben also 3 effektive Freiheitsgrade (4 minus 1 Zwangsbedingung). Man darf beliebige unabhängige Variablen wählen$q_j$entsprechend diesen Freiheitsgraden.

Nehmen$q_1 := x$die x-Koordinate des Massenmittelpunkts,$q_2 := y$die y-Koordinate und$q_3 := \phi$der Rotationswinkel des Vektors, der die beiden Teilchen relativ zur x-Achse verbindet

$$\cos\phi = \frac{\vec{d}\cdot\vec{e}_x}{d}$$ mit $\vec{d} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$Und $\vec{e}_x$der Einheitsbasisvektor zeigt entlang der x-Achse. Dann haben wir: $$\begin{align} \vec{r}_1 & = \underbrace{\left( \matrix{x\\y} \right)}_{:=\vec{r}_c} + \underbrace{\frac{d}{2} \cdot \left( \matrix{\cos\phi \\ \sin\phi} \right)}_{=\vec{d}/2} \\ \\ \vec{r}_2 & = \left( \matrix{x\\y} \right) - \frac{d}{2} \cdot \left( \matrix{\cos\phi \\ \sin\phi} \right) \end{align}$$

Die Bewegungsgleichungen sind durch das d'Alembertsche Prinzip gegeben , das besagt, dass die inneren Zwangskräfte keine Netzarbeit auf den Körper ausüben:

$$\sum_{i=1}^2 \left( m_i \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} - \vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} = 0$$ die für jeden gibt $j=1,2,3$eine Bewegungsgleichung. Für $q_1 = x$wir haben: $$\begin{align} & \sum_{i=1}^2 \left( m_i \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} - \vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) = \left( \sum_{i=1}^2 \left( m_i \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} - \vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) \\ & = \left( m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} + m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{2,\text{ext}} + m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} - m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) \\ & = \left( 2m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} - \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{1\\0} \right) = 0 \end{align}$$

Und ähnlich für$q_2 = y$:

$$\left( 2m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} - \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{0\\1} \right) = 0$$

Oder äquivalent für beide Gleichungen übereinstimmen:

$$M \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} = \sum_i \vec{F}_{i,\text{ext}} \tag1$$

die Bewegungsgleichung des Massenmittelpunktes$\vec{r}_c$mit$M = 2m$. Dies zeigt, dass die Bewegung des Massenschwerpunkts nicht von dem Punkt beeinflusst wird, an dem die Kraft angreift (z$\vec{F}_{1,\text{ext}} = \vec{F}_0$Und$\vec{F}_{2,\text{ext}} = 0$führt zu der gleichen Bewegung wie$\vec{F}_{1,\text{ext}} = 0$Und$\vec{F}_{2,\text{ext}} = \vec{F}_0$). Der Massenmittelpunkt bewegt sich entsprechend den von außen einwirkenden Kräften. Dies ist ein allgemeines Ergebnis, das beispielsweise hier beantwortet wurde:

Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt eines starren Körpers

Nehmen wir nun die letzte Gleichung für$q_3 = \phi$:

$$\begin{align} & \left( m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} + m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{-\sin\phi \\ \cos\phi} \right) \\ & + \left( m \frac{d^2\vec{r}_c}{dt^2} - m \frac{d^2(\vec{d}/2)}{dt^2} - \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{\sin\phi \\ -\cos\phi} \right) \\ & = \left( m \frac{d^2(\vec{d})}{dt^2} - \vec{F}_{1,\text{ext}} + \vec{F}_{2,\text{ext}} \right) \cdot \left( \matrix{-\sin\phi \\ \cos\phi} \right) = 0 \end{align}$$ das ist unabhängig davon $\vec{r}_c$und damit eine reine Differentialgleichung für $\phi$, die die Rotationsbewegung beschreibt. Wir sehen, dass die Drehung um den Massenmittelpunkt unabhängig von seiner linearen Bewegung ist , in dem Sinne, dass sie durch Gleichungen beschrieben werden kann, die die Bewegung des Massenmittelpunkts ignorieren. Man kann das in Drehmoment und Drehimpuls ausdrücken $\vec{L}_r$relativ zum Massenmittelpunkt $$\frac{d \vec{L}_r}{dt} = \sum_i \vec{d}_i \times \vec{F}_{i,\text{ext}} \tag2$$ mit $\vec{L}_r = \Theta \cdot \vec{\omega}$Und $\Theta$der Trägheitstensor und $\vec{\omega}$die Winkelgeschwindigkeit (zB $\frac{d\phi}{dt}$im obigen Beispiel) im Massenmittelpunkt und $d_i$die Entfernungen dazu.

Bezüglich Ihres Energieproblems verweise ich Sie auf den letzten Abschnitt dieser Antwort:

https://physics.stackexchange.com/a/174208/75518

oder stellen Sie es sich so vor: Arbeit wird durch das Pfadintegral definiert$\int \vec{F} \cdot d\vec{r}$oder für ein vielkörperiges, starres System, da das Netz der inneren Kräfte null ist:

$$\begin{align} \sum_i \int \vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot d\vec{r}_i & = \sum_i \int \vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot \frac{d\vec{r}_i}{dt} dt \\ & = \int \sum_i \left( \vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot \frac{d (\vec{r}_c + \vec{r}_{i,\text{rot}})}{dt} \right) dt \\ & = \int \left( \sum_i\vec{F}_{i,\text{ext}} \right) \cdot \vec{v}_c~dt + \int \left( \sum_i\vec{F}_{i,\text{ext}} \cdot \vec{v}_{i,\text{rot}} \right)~dt \tag3 \end{align}$$ wobei wir die Bewegung eines Teilchens in die lineare Bewegung des Massenschwerpunkts, den alle Teilchen gemeinsam haben, plus die Rotationsbewegung aufgeteilt haben. Im obigen Beispiel ist dies $\vec{r}_{i,\text{rot}} = \pm \frac{\vec{d}}{2}$. Wie Sie sehen können, entspricht der erste Term der Arbeit, die am Massenmittelpunkt verrichtet wird, während der zweite der Arbeit entspricht, die verrichtet wird, um das System rotieren zu lassen. Es ist diese zusätzliche Verschiebung $d \vec{r}_{i,\text{rot}}$die mit der Rotation einhergeht, die dazu führt, dass das System in der gleichen Zeit mehr kinetische Energie aus einer gegebenen Kraft gleicher Größe gewinnt.

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Schlussfolgerungen:

• "Wird der Körper immer noch so stark beschleunigen wie damals, als F auf C angewendet wurde?" $\rightarrow$ja, die Schwerpunktbeschleunigung ist gleich (siehe Gleichung (1) )
• "Wenn ja warum?" $\rightarrow$weil die Bewegung des Massenmittelpunkts unabhängig vom Angriffspunkt der Kräfte ist. Nur die Nettokraft zählt (siehe Gleichung (1) )
• "Wie kann es sich drehen und dennoch mit der gleichen Geschwindigkeit beschleunigen wie ohne Drehung?" $\rightarrow$weil diese beiden Bewegungen unabhängig voneinander sind
• "Woher bekommt es diese zusätzliche Energie?" $\rightarrow$letzter Abschnitt von https://physics.stackexchange.com/a/174208/75518 oder siehe Gleichung (3)
• "Wie kann ich die jeweiligen Geschwindigkeiten der Linear- und Winkelbewegung bei F und t berechnen?" $\rightarrow$Lösen Sie die Gleichungen (1) und (2) für spezifische Kräfte.

Hinweis: Ein Stoß auf einen starren Körper ist jedoch eine ganz andere Situation. Siehe dazu: Elastischer Stoß von Punktteilchen und Stab

Die Beschleunigung des Massenmittelpunkts ist immer$F/m$, also wenn Kraft und Masse gleich sind, beschleunigt der Massenmittelpunkt auf die gleiche Weise, unabhängig davon, wo die Kraft wirkt.

Nach der gleichen Zeit der Erfahrung der gleichen Kraft hat der Körper im rotierenden Fall eine größere kinetische Energie als im nicht rotierenden Fall. Dies liegt an der größeren Arbeit, die von der gleichen Kraft im rotierenden Gehäuse geleistet wird - die Kraft ist die gleiche, aber die Geschwindigkeit des Punktes, der die Kraft erfährt, ist aufgrund der Rotation größer.